Арифметическая прогрессия в ОГЭ по математике

Арифметическая прогрессия - основа 14 задания в ОГЭ по математике. На данной странице собраны основные задачи прошлых лет для подготовки к основному государственному экзамену. Для каждой задачи можно посмотреть полноценный разбор и проверить свой ответ. Постарайтесь решить как можно больше задач всех уровней сложности для полноценной подготовки к экзамену.

📚 Арифметическая прогрессия - теория

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

📝 Основные обозначения

Разберем основные обозначения, которые понадобятся для решения задач на арифметическую прогрессию в ОГЭ и 9 классе:

a_{1} — первый член прогрессии

a_{n} — n-й член прогрессии

d — разность прогрессии

n — номер члена прогрессии

S_{n} — сумма n первых членов

🧮 Основные формулы

1. Формула n-го члена

a_{n} = a_{1} + d (n - 1)

Пример: Найти 10-й член прогрессии: 2, 5, 8, 11, ...

a_{10} = 2 + 3 (10 - 1) = 2 + 27 = 29

2. Формула суммы n первых членов

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

S_{n} = \frac{2 a_{1} + d (n - 1)}{2} \cdot n

Пример: Найти сумму первых 10 членов: 2, 5, 8, 11, ...

S_{10} = \frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 15.5 \cdot 10 = 155

Теорию по всем видам прогрессий в ОГЭ по математике и по программе алгебры 9 класса, для решения задач можно найти в справочнике

Задачи на арифметическую прогрессию из ОГЭ по математике

Арифметическая прогрессия

Задачи вперемешку

Геометрическая прогрессия

Задача № 1

Арифметическая прогрессия

Какая разность арифметической прогрессии 10, 5, 0, -5?

Перед нами задача на арифметическую прогрессию, поэтому будем пользоваться формулами для арифметической прогрессии. Возьмем 2 ближайших числа в прогрессии 10 и 5. Вычтем их друг из друга и получим 5-10 = -5. Следовательно разность составляет -5

Таким образом, ответ составит: -5

Задача № 2

Арифметическая прогрессия

Найдите 6ой член прогрессии: 1, 3, 9, 27, 81

Перед нами задача на арифметическую прогрессию, поэтому будем пользоваться формулами для арифметической прогрессии. Найдём знаменатель прогрессии

Таким образом, ответ составит: 243

Задача № 3

Арифметическая прогрессия

В кинозале, который имеет форму сектора, 22 ряда, причем в каждом следующем ряду на одно и тоже число мест больше, чем в предыдущем. В 9 ряду 63 мест, а в 18 ряду 117 мест. Сколько мест в 14 ряду кинозала?

Перед нами задача на арифметическую прогрессию, поэтому будем пользоваться формулами для арифметической прогрессии.

Дано:

\begin{array}{l} a_{9} = 63 \\ a_{18} = 117 \\ a_{14} = ? \end{array}

Решение:

nый элемент арфиметической прогрессии вычисляется по формуле

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Тогда мы можем записать формулы для вычисления количества мест в x и y рядах и объединить их в систему линейных уравнений:

{\begin{cases} \begin{matrix} a_{9} = a_{1} + d \cdot (9 - 1) \\ a_{18} = a_{1} + d \cdot (18 - 1) \end{matrix} \end{cases}

Подставим все известное:

{\begin{cases} \begin{matrix} 63 = a_{1} + d \cdot 8 \\ 117 = a_{1} + d \cdot 17 \end{matrix} \end{cases}

Далее вычтим из 2го уравнения 1ое (из большего меньшее):

117 - 63 = a_{1} + d \cdot 17 - (a_{1} + d \cdot 8)

Раскроем скобки и упростим:

54 = 9 \cdot d

Заметим, что в таком случае а1 у нас вычитается и пропадает из уравнения, тогда останется только одна неизвестная d (разность прогрессии).
Теперь остается только решить линейное уравнение, чтобы найти разность прогрессии:

d = \frac{54}{9} = 6

Когда мы нашли d, то можем подставить в одной из двух уравнений системы (например в первое) и вычислить первый элемент прогрессии:

63 = a_{1} + d \cdot (9 - 1) ⟹ a_{1} = 63 - 6 \cdot 8 ⟹ a_{1} = 15

Теперь когда нам известны и первый элемент прогрессии и разность прогрессии мы можем воспользоваться той же формулый nго элемента и вычислить сколько мест в 14 ряду:

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1) ⟹ a_{14} = 15 + 6 \cdot (14 - 1) = 93

Таким образом, ответ составит: 93

Задача № 4

Арифметическая прогрессия

Каждый год люди переезжали из маленького города А в соседний крупный город Б и количество жителей убывало на одну и ту же величину. В 2015 году население маленького города А составляло 35700 человек. В конце 2023 года в городе проживало 29900 человек. На сколько людей больше проживало в городе в 2013 году по сравнению с 2020?

Дано:

\begin{array}{l} a_{3} = 35700 \\ a_{11} = 29900 \\ a_{1} - a_{8} = ? \end{array}

Решение:

nый элемент арфиметической прогрессии вычисляется по формуле

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Тогда мы можем записать формулы для вычисления количества людей в 2015 и 2023 годах и объединить их в систему линейных уравнений:

{\begin{cases} \begin{matrix} a_{3} = a_{1} + d \cdot (3 - 1) \\ a_{11} = a_{1} + d \cdot (11 - 1) \end{matrix} \end{cases}

Подставим все известное:

{\begin{cases} \begin{matrix} 35700 = a_{1} + d \cdot 2 \\ 29900 = a_{1} + d \cdot 10 \end{matrix} \end{cases}

Далее вычтим из 2го уравнения 1ое (из большего меньшее):

35700 - 29900 = a_{1} + d \cdot 2 - (a_{1} + d \cdot 10)

Раскроем скобки и упростим:

5800 = - 8 \cdot d

d = \frac{5800}{- 8} = - 725

Теперь когда нам известны и третий элемент прогрессии и разность прогрессии мы можем воспользоваться той же формулой nго элемента и вычислить сколько человек проживало в 2013 ряду:

a_{3} = a_{1} + d \cdot (3 - 1) ⟹ a_{1} = a_{3} - d \cdot 2 ⟹ a_{1} = 35700 - (- 725) \cdot 2 = 37150

Аналогично найдем количество жителей в 2020 году:

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1) ⟹ a_{8} = a_{1} + d \cdot (8 - 1) = a_{1} + d \cdot 7 = 37150 + (- 725) \cdot 7 = 32075

Осталось лишь вычислить разницу, чтобы понять на сколько в 2013 году население было больше, чем в 2020:

a_{1} - a_{8} = 37150 - 32075 = 5075

Таким образом, ответ составит: 5075

Задача № 5

Арифметическая прогрессия

Мальчик, который может сделать уверенных 7 подтягиваний обратился к своему тренеру за советом. Тот в свою очередь быстро составил программу тренировок для мальчика на месяц (15 дней тренировок и 15 дней отдыха между ними). Ежедневная тренировка разбивалась на 2 одинаковых части в день. В первый день мальчик должен был подойти к турнику и сыграть в лесенку (сначала 2 подтягивания, после небольшого перерыва в 20-30 секунд 3 подтягивания и так далее до тех пор, пока не дойдет до 5, а затем так же в обратную сторону на убывание, 4 подтягиваний, затем 3 и последний подход возвращает к 1 подтягиванию). В каждый следующий тренировочный день мальчик должен был количество минимальных и максимальных подтягиваний увеличивать на 1, то есть во второй тренировочный день он начинает с 3 подтягиваний и доходит по лесенки до 6 и снова спускается до 3). Сколько в сумме сделает подтягиваний мальчик за месяц тренировок?

Дано:

\begin{array}{l} a_{1 m i n} = 2 \\ a_{1 m a x} = 5 \\ a_{2 m i n} = 3 \\ a_{2 m a x} = 6 \\ a_{3 m i n} = 4 \\ a_{3 m a x} = 7 \\ . . . \end{array}

Решение:

Заметим, что каждый тренировочный день мальчика по количеству подтягиваний составлял две арифметических прогрессий (возрастающую и убывающую) с одинаковой разностью прогрессии d = 1.
А также минимальные и максимальные количества подтягиваний в каждый следующий тренировочный день тоже являются возрастающей арифметической прогрессией с той же разностью d = 1/.
Для начала предлагаю записать формулу для вычисления суммы арифметической прогрессии и формулу для нахождения nго элемента прогрессии:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot d

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Так же давайте обратим внимание, что мы можем в каждом тренировочном дне развернуть убывающую лесенку для удобства в подсчетах.
Затем удобно будет рассмотреть каждый подход в каждый тренировочный день как отдельную арифметическую прогрессию:
1ый подход) 2, 3, 4 и тд. (всего количество элементов будет равняться количеству тренировочных дней)
2ой подход) 3, 4, 5 и тд. аналогично
3ий подход) 4, 5, 6
Тогда возникает вопрос, а сколько всего подходов будет на возрастание, на него легко ответить рассмотрев пару тренировочных дней:
1ый день) 3, 4, 5
2ой день) 4, 5, 6
3ий день) 5, 6, 7
Видно, что мальчик будет делать 3 подхода на возрастание каждый день и каждый день количество повторений в каждом подходе будет на 1 больше, чем в предыдущий тренировочный день
Тогда по записанным ранее двум формулам мы можем вычислить количество минимальных повторений в последний (15ый) тренировочный день и вычислить сумму повторений, которые мальчик сделает в возрастающей лесенке:

a_{15 m i n} = a_{1 m i n} + 1 \cdot (15 - 1) = 2 + 14 = 16

S_{15 m i n} = \frac{a_{1 m i n} + a_{15 m i n}}{2} \cdot 15 = \frac{2 + 16}{2} \cdot 15 = 135

Теперь осталось рассмотреть сколько в сумме мальчик каждый день делает повторений на убывающей лесенке, попробуем и здесь определить закономерность.
В первый тренировочный день это будет 1, 2, 3, 4, 5 (если смотреть с конца этой убывающей лесенки).
Во второй 1, 2, 3, 4, 5, 6.
В третий 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Думаю вы уже и сами заметили, что от 1 до 5 повторений каждый тренировочный день повторяется, а максимальное количество потворений (как уже мы заметили раньше) увеличивается на d = 1, то есть само по себе тоже является возрастающей арифметической прогрессией.
А значит нам будет удобно вычислить сумму максимальных значений повторений за 15 тренировочных дней, а от 1 до 5 отдельно и просто умножить на 15, потому что все 15 тренировочных дней мальчик будет повторять эту последовательность.
Для этого сначала вычислим количество максимальный повторений в последний день:

a_{15 m a x} = a_{1 m a x} + 1 \cdot (15 - 1) = 5 + 14 = 19

А теперь можем вычислить сумму этих максимальных повторений за 15 дней:

S_{15 m a x} = \frac{a_{1 m a x} + a_{15 m a x}}{2} \cdot 15 = \frac{5 + 19}{2} \cdot 15 = 180

Осталось лишь посчитать сумму арифметической прогрессии от 1 до 5, которую мальчик повторяет каждый день в убывающей лесенки и умножить эту сумму на 15:

15 \cdot S_{5} = 15 \cdot \frac{1 + 5}{2} \cdot 5 = 225

Сложим полученные суммы повторений за 15 дней тренировок:

S = S_{15 m i n} + S_{15 m a x} + 15 \cdot S_{5} = 135 + 180 + 225 = 540

Но это еще не ответ, помним, что каждый тренировочный день разбивался на 2 одинаковые тренировки, а значит все наши рассуждения удваиваются и в сумме мы получим в два раза больше:

S \cdot 2 = 540 \cdot 2 = 1080

Таким образом, ответ составит: 1080

Задача № 6

Арифметическая прогрессия

В арифметической прогрессии сумма первых n членов равна 225, а разность прогрессии равна 5. Последний член равен 45. Найдите первый член и количество членов прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии как $a_{1}$ , количество членов как $n$ , разность прогрессии $d = 5$ .

По формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставляем значение последнего члена:

45 = a_{1} + (n - 1) 5

Формула суммы первых n членов:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Подставляем известные значения:

225 = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) 5)

Решаем систему уравнений:

\begin{matrix} 1) & 45 = a_{1} + 5 (n - 1) \\ 2) & 225 = \frac{n}{2} (2 a_{1} + 5 (n - 1)) \end{matrix}

Из первого уравнения выражаем $a_{1}$ :

a_{1} = 45 - 5 (n - 1)

Подставляем во второе уравнение:

225 = \frac{n}{2} [2 (45 - 5 (n - 1)) + 5 (n - 1)]

Упростим:

225 = \frac{n}{2} (90 - 10 (n - 1) + 5 (n - 1))

Объединим внутри скобок:

225 = \frac{n}{2} (90 - 5 (n - 1))

Раскрываем скобки в правой части:

225 = \frac{n}{2} (90 - 5 n + 5)

Подставим и упростим сумму в скобках:

225 = \frac{n}{2} (95 - 5 n)

Умножаем обе части уравнения на 2:

450 = n (95 - 5 n)

Раскрываем скобки справа:

450 = 95 n - 5 n^{2}

Переносим все члены в одну часть:

5 n^{2} - 95 n + 450 = 0

Делим на 5 для упрощения:

n^{2} - 19 n + 90 = 0

Вычисляем дискриминант:

D = 19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1

Находим корни уравнения:

n = \frac{19}{2} \pm \frac{\sqrt{D}}{2}

Подставляем значение дискриминанта:

n 1 = \frac{19}{2} + \frac{1}{2} = 10

n 2 = \frac{19}{2} - \frac{1}{2} = 9

Выбираем $n = 10$ , так как последний член равен 45.

Вычисляем первый член прогрессии:

a_{1} = 45 - 5 (10 - 1)

= 45 - 45 = 0

Ответ: первый член равен 0, количество членов 10.

Таким образом, ответ составит: первый член равен 0, количество членов 10

Задача № 7

Арифметическая прогрессия

В арифметической прогрессии известно, что сумма первых 20 членов равна 210, а десятый член равен 15. Найдите первый член и разность прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии как $a_{1}$ , разность прогрессии как $d$ .

По формуле n-го члена арифметической прогрессии известен десятый член:

a_{10} = a_{1} + 9 d = 15

По формуле суммы первых n членов прогрессии:

S_{20} = \frac{20}{2} (2 a_{1} + 19 d) = 210

Упрощаем сумму:

10 (2 a_{1} + 19 d) = 210

Делим обе части уравнения на 10:

2 a_{1} + 19 d = 21

Запишем систему уравнений:

{\begin{matrix} a_{1} + 9 d & = 15 \\ 2 a_{1} + 19 d & = 21 \end{matrix}}

Выразим $a_{1}$ из первого уравнения:

a_{1} = 15 - 9 d

Подставим во второе уравнение:

2 (15 - 9 d) + 19 d = 21

Раскрываем скобки и упрощаем:

30 - 18 d + 19 d = 21

Объединяем слагаемые с $d$ :

30 + 1 d = 21

Вычисляем:

1 d = 21 - 30 = - 9

То есть:

d = - 9

Подставляем значение $d$ в выражение для $a_{1}$ :

a_{1} = 15 - 9 \times (- 9) = 15 + 81 = 96

Ответ: первый член прогрессии равен 96, разность равна -9.

Таким образом, ответ составит: первый член равен 96, разность -9

Задача № 8

Арифметическая прогрессия

В арифметической прогрессии первый член равен 5, разность равна 3. Найдите сумму первых 30 членов и 30-й член прогрессии.

Даны: $a_{1} = 5$ , $d = 3$ .

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Подставляем $n = 30$ , $a_{1} = 5$ , и $d = 3$ :

S_{30} = \frac{30}{2} (25 + (30 - 1) 3)

Упрощаем выражение в скобках:

10

30 - 1 = 29

293 = 87

Сумма в скобках:

10 + 87 = 97

Теперь находим сумму:

\frac{30}{2} = 15

15 \times 97 = 1455

Формула для n-го члена прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставляем $n=30$ и вычисляем:

a_{30} = 5 + (30 - 1) 3

5 + 29 \times 3 = 5 + 87 = 92

Ответ: сумма первых 30 членов равна 1455, 30-й член равен 92.

Таким образом, ответ составит: сумма первых 30 членов 1455, 30-й член 92

Задача № 9

Арифметическая прогрессия

Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение второго и восьмого членов равно 28. Найдите первый член и разность прогрессии.

Решение:

Запишем условия задачи в виде уравнений:

a_{3} + a_{7} = 16

a_{2} \cdot a_{8} = 28

Выразим все члены через первый член a₁ и разность d:

a_{3} = a_{1} + 2 d

a_{7} = a_{1} + 6 d

a_{2} = a_{1} + d

a_{8} = a_{1} + 7 d

Подставим в первое уравнение:

(a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 6 d) = 16

2 a_{1} + 8 d = 16

a_{1} + 4 d = 8

Подставим во второе уравнение:

(a_{1} + d) \cdot (a_{1} + 7 d) = 28

Выразим a₁ из первого уравнения: a₁ = 8 - 4d

Подставим во второе уравнение:

(8 - 4 d + d) \cdot (8 - 4 d + 7 d) = 28

(8 - 3 d) \cdot (8 + 3 d) = 28

64 - 9 d^{2} = 28

9 d^{2} = 36

d^{2} = 4

d = \pm 2

Найдем a₁ для каждого случая:

Если d = 2: a₁ = 8 - 4×2 = 0

Если d = -2: a₁ = 8 - 4×(-2) = 16

Таким образом, ответ составит: a₁ = 0, d = 2 или a₁ = 16, d = -2

Задача № 10

Арифметическая прогрессия

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна 3n² + 5n. Найдите разность прогрессии и ее первый член.

Решение:

Сумма первых n членов: Sₙ = 3n² + 5n

Сумма первых (n-1) членов: Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 5(n-1)

n-й член прогрессии: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

a_{n} = (3 n^{2} + 5 n) - [3 {(n-1)}^{2} + 5 (n-1)]

a_{n} = 3 n^{2} + 5 n - [3 n^{2} - 6 n + 3 + 5 n - 5]

a_{n} = 3 n^{2} + 5 n - 3 n^{2} + n + 2

a_{n} = 6 n + 2

Таким образом, n-й член прогрессии: aₙ = 6n + 2

Первый член: a₁ = 6×1 + 2 = 8

Второй член: a₂ = 6×2 + 2 = 14

Разность: d = a₂ - a₁ = 14 - 8 = 6

Таким образом, ответ составит: a₁ = 8, d = 6

Задача № 11

Арифметическая прогрессия

В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна 14, а сумма второго и четвертого членов равна 10. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Решение:

Запишем условия:

a_{3} + a_{5} = 14

a_{2} + a_{4} = 10

Выразим через a₁ и d:

(a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 4 d) = 14

2 a_{1} + 6 d = 14

a_{1} + 3 d = 7

(a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) = 10

2 a_{1} + 4 d = 10

a_{1} + 2 d = 5

Решим систему уравнений:

{\begin{matrix} a_{1} + 3 d = 7 \\ a_{1} + 2 d = 5 \end{matrix}

Вычтем из первого уравнения второе:

(a_{1} + 3 d) - (a_{1} + 2 d) = 7 - 5

d = 2

Найдем a₁: a₁ + 2×2 = 5 ⇒ a₁ = 1

Сумма первых 10 членов:

S_{10} = \frac{2 a_{1} + 9 d}{2} \cdot 10

S_{10} = \frac{2 \times 1 + 9 \times 2}{2} \cdot 10

S_{10} = \frac{2 + 18}{2} \cdot 10

S_{10} = 10 \cdot 10 = 100

Таким образом, ответ составит: S₁₀ = 100

Задача № 12

Арифметическая прогрессия

Между числами 2 и 18 вставьте четыре числа так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

Решение:

Всего будет 6 чисел: a₁ = 2, a₆ = 18

Найдем разность прогрессии:

a_{6} = a_{1} + 5 d

18 = 2 + 5 d

5 d = 16

d = 3.2

Найдем вставляемые числа:

a₂ = 2 + 3.2 = 5.2

a₃ = 5.2 + 3.2 = 8.4

a₄ = 8.4 + 3.2 = 11.6

a₅ = 11.6 + 3.2 = 14.8

Таким образом, ответ составит: 5.2; 8.4; 11.6; 14.8

Задача № 13

Арифметическая прогрессия

Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3.

Решение:

Трехзначные числа, дающие остаток 3 при делении на 4: 103, 107, 111, ..., 999

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 103, d = 4

Найдем количество членов:

a_{n} = 999

a_{1} + (n - 1) d = 999

103 + (n - 1) \times 4 = 999

(n - 1) \times 4 = 896

n - 1 = 224

n = 225

Найдем сумму:

S_{225} = \frac{a_{1} + a_{225}}{2} \cdot n

S_{225} = \frac{103 + 999}{2} \cdot 225

S_{225} = \frac{1102}{2} \cdot 225

S_{225} = 551 \cdot 225 = 123975

Таким образом, ответ составит: 123975

Задача № 14

Арифметическая прогрессия

Поезд начал движение от станции! За первую секунду он проехал всего 0,6 м, но с каждой следующей секундой набирал скорость и проезжал на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько всего метров проедет поезд за первые 7 секунд движения? ?

Решение:

Это удивительно, но движение поезда описывается арифметической прогрессией! ?

a_{1} = 0.6

(скромные 0,6 м за первую секунду)

d = 0.1

(каждую секунду прибавляем по 0,1 м - поезд разгоняется! ?)

Нам нужно найти сумму расстояний за 7 секунд - это S₇!

Сначала найдем, сколько проедет поезд за 7-ю секунду:

a_{7} = a_{1} + (7 - 1) d

a_{7} = 0.6 + 6 \times 0.1

a_{7} = 0.6 + 0.6

a_{7} = 1.2

Уже в 2 раза больше! ?

Теперь найдем общий путь за 7 секунд:

S_{7} = \frac{a_{1} + a_{7}}{2} \cdot 7

S_{7} = \frac{0.6 + 1.2}{2} \cdot 7

S_{7} = \frac{1.8}{2} \cdot 7

S_{7} = 0.9 \cdot 7

S_{7} = 6.3

Таким образом, ответ составит: 6.3

Задача № 15

Арифметическая прогрессия

Команда маляров красит забор общей длиной 240 метров. С каждым днем они увеличивают объем работы на одинаковое количество метров. Известно, что в первый и последний день работы вместе они покрасили 60 метров забора. За какое количество дней был полностью покрашен весь забор?

Решение:

Это интересная задача на арифметическую прогрессию! Давайте обозначим:

a_{1} = x

(метров покрасили в первый день)

d = y

(ежедневное увеличение нормы покраски)

n = k

(искомое количество дней работы)

Из условия задачи известно:

a_{1} + a_{n} = 60

И общая длина покрашенного забора:

S_{n} = 240

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Подставим известные значения в формулу:

240 = \frac{60}{2} \cdot n

240 = 30 \cdot n

n = \frac{240}{30}

n = 8

Таким образом, ответ составит: 8

Задача № 16

Арифметическая прогрессия

Автомобиль начинает экстренное торможение! В первую секунду он успевает проехать 24 метра, но с каждой последующей секундой путь сокращается на 3 метра по сравнению с предыдущей секундой. Какое общее расстояние проедет автомобиль за первые 6 секунд торможения?

Решение:

Перед нами классический пример арифметической прогрессии! Разберем по шагам:

Исходные данные:

a_{1} = 24

(путь за первую секунду - 24 метра)

d = - 3

(ежесекундное уменьшение пути на 3 метра)

Нам нужно найти сумму пути за 6 секунд, то есть S₆

Сначала определим, сколько проедет автомобиль за 6-ю секунду:

a_{6} = a_{1} + (6 - 1) d

a_{6} = 24 + 5 \times (- 3)

a_{6} = 24 - 15

a_{6} = 9

Теперь вычислим общий путь за 6 секунд:

S_{6} = \frac{a_{1} + a_{6}}{2} \cdot 6

S_{6} = \frac{24 + 9}{2} \cdot 6

S_{6} = \frac{33}{2} \cdot 6

S_{6} = 16.5 \cdot 6

S_{6} = 99

Таким образом, ответ составит: 99

Задача № 17

Арифметическая прогрессия

Концертный зал имеет 12 рядов для зрителей. В первом ряду расположено 20 мест, и в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест находится в десятом ряду этого зала?

Решение:

Перед нами прекрасный пример арифметической прогрессии! Давайте разберемся:

Исходные данные:

a_{1} = 20

(в первом ряду 20 мест)

d = 4

(в каждом следующем ряду на 4 места больше)

Нам нужно найти количество мест в десятом ряду, то есть a₁₀

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставим значения для n = 10:

a_{10} = 20 + (10 - 1) \times 4

a_{10} = 20 + 9 \times 4

a_{10} = 20 + 36

a_{10} = 56

Таким образом, ответ составит: 56

Задача № 18

Арифметическая прогрессия

В химической лаборатории проводят опыт по охлаждению жидкости. Начальная температура вещества была 15°C. В течение 12 минут вещество равномерно охлаждается, причем каждую минуту температура понижается на 5°C. Определите температуру вещества через 5 минут после начала эксперимента.

Решение:

Перед нами классический пример арифметической прогрессии! Разберем подробно:

Исходные данные эксперимента:

a_{1} = 15

(начальная температура 15°C)

d = - 5

(температура понижается на 5°C каждую минуту)

Нам нужно найти температуру через 5 минут, то есть a₅

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставим значения для n = 5:

a_{5} = 15 + (5 - 1) \times (- 5)

a_{5} = 15 + 4 \times (- 5)

a_{5} = 15 - 20

a_{5} = - 5

Таким образом, ответ составит: -5

Применение арифметической прогрессии в жизни

Арифметическая прогрессия встречается не только в ОГЭ по математике, но и в ЕГЭ и в повседневной жизни. Более прикладные задачи вы на этот вид прогрессии вы встретите например во второй части ЕГЭ по математике. В повседневной жизни можно тоже часто встретить этот вид прогрессии.

Строительство и архитектура 🏗️
Спорт и тренировки 🏃‍♂️
Транспорт и логистика 🚗️
Сельское хозяйство 🌾

Во всех этих сферах всегда будут величины, которые монотонно увеличиваются на одну и ту же величину. Тогда их последовательность будет составлять арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия в ОГЭ по математике

📚 Арифметическая прогрессия - теория

📝 Основные обозначения

🧮 Основные формулы

1. Формула n-го члена

2. Формула суммы n первых членов

Задачи на арифметическую прогрессию из ОГЭ по математике

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Применение арифметической прогрессии в жизни

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки