Задачи на геометрические прогрессии из ОГЭ по математике

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Теперь разберем основные определения

📝 Основные обозначения

b_{1} — первый член прогрессии

b_{n} — n-й член прогрессии

q — знаменатель прогрессии

n — номер члена прогрессии

S_{n} — сумма n первых членов

S — сумма бесконечной прогрессии

🧮 Основные формулы

Теперь рассмотрим основные формулы для решения 14 задания в ОГЭ по математике, которые проходятся в 9 классе.

Обращаем ваше внимание на то, что все эти формулы(кроме суммы бесконечной геометрической прогрессии) будут в справочном материале на экзамене в 9 классе. А задачи на формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии на ОГЭ вообще не встречаются и нужны для решения задач в классах с углубленным изучением математики.

1. Формула n-го члена

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Пример: Найти 6-й член прогрессии: 2, 6, 18, 54, ...

b_{6} = 2 \cdot 3^{6 - 1} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486

2. Формула суммы n первых членов

S_{n} = \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}, если q \neq 1

S_{n} = b_{1} \cdot n, если q = 1

Пример: Найти сумму первых 5 членов: 2, 6, 18, 54, 162

S_{5} = \frac{2 (3^{5} - 1)}{3 - 1} = \frac{2 (243 - 1)}{2} = 242

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

S = \frac{b_{1}}{1 - q}, при | q | < 1

Пример: Найти сумму бесконечной прогрессии: 8, 4, 2, 1, 0.5, ...

S = \frac{8}{1 - 0.5} = \frac{8}{0.5} = 16

Задачи на геометрическую прогрессию для подготовки к ОГЭ по математике с различными уровнями сложности помогут подготовиться к экзамену. Геометрическая прогрессия - самый сложный вид прогрессии в ОГЭ по математике и встречается заметно реже на ОГЭ, по сравнению с арифметической прогрессией. В каждой задаче вы можете проверить свой ответ и посмотреть подробное решение.

Всю теорию, для решения задач на геометрические прогрессии вы можете найти в справочнике

Арифметическая прогрессия

Задачи вперемешку

Геометрическая прогрессия

Задачи на геометрическую прогрессию из ОГЭ

Задача № 1

Геометрическая прогрессия

Период полураспада изотопа А составляет 3 года, это значит, что каждые три года при а - распаде половина всего вещества А превращается в стабильный изотоп Б. Сколько будет массы образовавшегося изотопа Б через 27 лет, если изначально вещества А было 1536 мг.

Перед нами задача на арифметическую прогрессию, поэтому будем пользоваться формулами для арифметической прогрессии. Решение
Через 3 года произойдет один полураспад ядер вещества А, значит мы получим 768 мг вещества А и 768 мг вещества Б.
Еще через 3 года нестабильное вещество А снова испытает полураспад и его останется 384 мг, а вещества Б 768 + 384
Заметим, что 768 в 2 раза меньше, чем 1536, а 384 в 2 раза меньше 768, наблюдается появление вещества Б в геометрической убывающей прогрессии со знаменателем $q = \frac{1}{2}$ .
За 27 лет с периодом полураспада 3 года успеет произойти 9 полураспадов вещества А, а значит мы получим 9 элементов геометрической прогрессии появляющейся массы вещества Б.
Так как нам необходимо вычислить общую массу образовавшегося вещества Б, то это значит, что мы должны будет сложить 9 элементов геометрической прогрессии.
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:
$S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}$
Первый элемент и разность геометрической прогрессии мы нашли, можем подставлять и вычислять:
$S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{9})}{1 - \frac{1}{2}}$
воспользуемся свойством степени: $(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}$
$S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1^{9}}{2^{9}})}{\frac{1}{2}}$
далее возведем 1 и 2 в 9 степень
$S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1}{512})}{\frac{1}{2}}$
приведем 1 к общему знаменателю 512 через умножение и вычислим вычитание дроби:
$S_{9} = 768 \cdot \frac{511}{512} : \frac{1}{2}$
мы заменили знак дроби на классический знак деления ":", теперь заменим деление на умножение и перевернем дробь, на которую делим:
$S_{9} = 768 \cdot \frac{511}{512} \cdot \frac{2}{1}$
аккуратно скоратим дробь несколько раз на 2 и получим ответ:
$S_{9} = 1533$
Теперь дайте попробуем альтернативное решение (оно будет покороче)
За 27 лет с периодом полураспада вещество изотопа А успеет пройти через 9 полураспадов, то есть потерять половину свой массы 9 раз.
Тогда если мы имеющуюся массу вещества А поделим на 2 9 раз, то мы сможем вычислить, сколько его останется после 9 полураспадов:
$\frac{1536}{2^{9}} = 3$
Если изначально у нас было 1536 мг вещества, оно 27 лет превращалось в вещество Б и у нас после всех эти превращений осталось только 3мг вещества А, то вещества Б станет 1533 мг. :)

Таким образом, ответ составит: 1533

Задача № 2

Геометрическая прогрессия

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Перед нами задача на арифметическую прогрессию, поэтому будем пользоваться формулами для арифметической прогрессии.

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{3} = 10

b_{2} + b_{4} = 20

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q^{2} = 10

b_{1} q + b_{1} q^{3} = 20

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q^{2}) = 10

b_{1} q (1 + q^{2}) = 20

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q^{2})}{b_{1} (1 + q^{2})} = \frac{20}{10}

q = 2

Найдем b₁ из первого уравнения:

b_{1} (1 + 2^{2}) = 10

b_{1} (1 + 4) = 10

5 b_{1} = 10

b_{1} = 2

Таким образом, ответ составит: b₁ = 2, q = 2

Задача № 3

Геометрическая прогрессия

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 15, а сумма второго и третьего членов равна 30. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{2} = 15

b_{2} + b_{3} = 30

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q = 15

b_{1} q + b_{1} q^{2} = 30

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q) = 15

b_{1} q (1 + q) = 30

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q)}{b_{1} (1 + q)} = \frac{30}{15}

q = 2

Найдем b₁ из первого уравнения:

b_{1} (1 + 2) = 15

3 b_{1} = 15

b_{1} = 5

Найдем сумму первых шести членов:

S_{6} = b_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q - 1}

S_{6} = 5 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1}

S_{6} = 5 \cdot \frac{64 - 1}{1}

S_{6} = 5 \cdot 63 = 315

Таким образом, ответ составит: S₆ = 315

Задача № 4

Геометрическая прогрессия

Три числа, сумма которых равна 31, образуют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 3, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть три числа геометрической прогрессии: b₁, b₂, b₃

По условию: b₁ + b₂ + b₃ = 31

Так как это геометрическая прогрессия: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q²

Подставим:

b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 31

b_{1} (1 + q + q^{2}) = 31

Если от третьего числа отнять 3, то получится арифметическая прогрессия:

b₁, b₁q, b₁q² - 3 - арифметическая прогрессия

Для арифметической прогрессии: 2b₁q = b₁ + (b₁q² - 3)

2 b_{1} q = b_{1} + b_{1} q^{2} - 3

2 b_{1} q - b_{1} - b_{1} q^{2} = - 3

b_{1} (2 q - 1 - q^{2}) = - 3

Решим систему уравнений:

{\begin{matrix} b_{1} (1 + q + q^{2}) = 31 \\ b_{1} (2 q - 1 - q^{2}) = - 3 \end{matrix}

Разделим первое уравнение на второе:

\frac{1 + q + q^{2}}{2 q - 1 - q^{2}} = - \frac{31}{3}

Умножим обе части на знаменатель:

3 (1 + q + q^{2}) = - 31 (2 q - 1 - q^{2})

3 + 3 q + 3 q^{2} = - 62 q + 31 + 31 q^{2}

28 q^{2} - 65 q + 28 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 65 2^{2} - 4 \cdot 28 \cdot 28 = 4225 - 3136 = 1089

\sqrt{D} = 33

q = \frac{65 \pm 33}{2 \cdot 28} = \frac{65 \pm 33}{56}

Два решения:

q₁ = (65 + 33)/56 = 98/56 = 7/4 = 1.75

q₂ = (65 - 33)/56 = 32/56 = 4/7 ≈ 0.571

Найдем b₁ для каждого случая:

Для q = 7/4: b₁(1 + 7/4 + 49/16) = 31

b_{1} (\frac{16}{16} + \frac{28}{16} + \frac{49}{16}) = 31

b_{1} \cdot \frac{93}{16} = 31

b_{1} = 31 \cdot \frac{16}{93} = \frac{496}{93} = \frac{16}{3}

Тогда числа: 16/3, 28/3, 49/3

Для q = 4/7: b₁(1 + 4/7 + 16/49) = 31

b_{1} (\frac{49}{49} + \frac{28}{49} + \frac{16}{49}) = 31

b_{1} \cdot \frac{93}{49} = 31

b_{1} = 31 \cdot \frac{49}{93} = \frac{1519}{93} = \frac{49}{3}

Тогда числа: 49/3, 28/3, 16/3

Таким образом, ответ составит: 16/3, 28/3, 49/3 или 49/3, 28/3, 16/3

Задача № 5

Геометрическая прогрессия

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Решение:

Сумма бесконечной прогрессии:

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = 4

Прогрессия из кубов: b₁³, b₁³q³, b₁³q⁶, ...

Это тоже геометрическая прогрессия с первым членом b₁³ и знаменателем q³

Ее сумма:

\frac{b_{1}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

Из первого уравнения: b₁ = 4(1 - q)

Подставим во второе:

\frac{64^{3} {(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

\frac{64 {(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

\frac{{(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 1

Разложим знаменатель: 1 - q³ = (1 - q)(1 + q + q²)

\frac{{(1-q)}^{3}}{(1 - q) (1 + q + q^{2})} = 1

\frac{{(1-q)}^{2}}{1 + q + q^{2}} = 1

{(1-q)}^{2} = 1 + q + q^{2}

1 - 2 q + q^{2} = 1 + q + q^{2}

- 2 q = q

- 3 q = 0

q = 0

Найдем b₁: b₁ = 4(1 - 0) = 4

Таким образом, ответ составит: b₁ = 4, q = 0

Задача № 6

Геометрическая прогрессия

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если сумма ее первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102.

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{5} = 51

b_{2} + b_{6} = 102

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q^{4} = 51

b_{1} q + b_{1} q^{5} = 102

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q^{4}) = 51

b_{1} q (1 + q^{4}) = 102

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q^{4})}{b_{1} (1 + q^{4})} = \frac{102}{51}

q = 2

Таким образом, ответ составит: q = 2

Задача № 7

Геометрическая прогрессия

В научной лаборатории проводят эксперимент с бактериальной культурой. Исходная масса культуры составляет 15 мг. Каждые 20 минут количество бактерий удваивается, соответственно увеличивается и масса культуры. Какой будет масса бактериальной культуры через 100 минут после начала эксперимента? Ответ выразите в миллиграммах.

Решение:

Перед нами увлекательный пример геометрической прогрессии! Разберем по шагам:

Исходные данные эксперимента:

b_{1} = 15

(начальная масса культуры - 15 мг)

q = 2

(масса удваивается каждые 20 минут)

Определим, сколько периодов по 20 минут прошло за 100 минут:

n = \frac{100}{20} = 5

Прошло 5 полных периодов удвоения! ?

Нам нужно найти массу после 5 периодов, то есть b₆

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Подставим значения для n = 6:

b_{6} = 15 \cdot 2^{6 - 1}

b_{6} = 15 \cdot 2^{5}

b_{6} = 15 \cdot 32

b_{6} = 480

Таким образом, ответ составит: 480

Задача № 8

Геометрическая прогрессия

Резиновый мяч уронили с высоты. При первом отскоке он подпрыгнул на 4,8 метра, а при каждом следующем отскоке высота подъема уменьшалась в 4 раза по сравнению с предыдущей. На каком по счету отскоке мяч впервые не сможет подняться выше 20 см?

Решение:

Перед нами интересная задача на геометрическую прогрессию! Разберем внимательно:

Исходные данные:

b_{1} = 4.8

(высота первого отскока 4,8 м)

q = \frac{1}{4}

(высота уменьшается в 4 раза с каждым отскоком)

Нам нужно найти, при каком n высота станет меньше 20 см = 0,2 м

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Составим неравенство:

b_{n} < 0.2

4.8 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n - 1} < 0.2

Проверим значения для разных n:

При n = 3: b₃ = 4,8 ⋅ (1/4)² = 4,8 ⋅ 1/16 = 0,3 м = 30 см > 20 см

При n = 4: b₄ = 4,8 ⋅ (1/4)³ = 4,8 ⋅ 1/64 = 0,075 м = 7,5 см < 20 см

Таким образом, при 4-м отскоке высота впервые станет меньше 20 см.

Таким образом, ответ составит: 4

🌍 Применение в реальной жизни

Геометрическая прогрессия встречается в очень многих аспектах современной жизни, например:

💰 Сложные проценты — рост вкладов в банке
📈 Экспоненциальный рост — размножение бактерий
📉 Радиоактивный распад — уменьшение массы вещества
🏗️ Цепные реакции — ядерные реакции
💸 Амортизация — уменьшение стоимости оборудования

Геометрическая прогрессия в ОГЭ по математике

📚 Геометрическая прогрессия - разбор теории для ОГЭ

📝 Основные обозначения

🧮 Основные формулы

1. Формула n-го члена

2. Формула суммы n первых членов

3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Задачи на геометрическую прогрессию из ОГЭ

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

🌍 Применение в реальной жизни

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки