14 задание ОГЭ по математике

Прогрессии — это одна из важных тем математики, на которую направлено 14 задание в ОГЭ по математике. На данной странице разберем как решать 14 задания по математике и рассмотрим основные задачи с экзамена и открытого банка заданий ФИПИ.

Прогрессия - числовой ряд, где каждый последующий элемент можно получить по определённому правилу из предыдущего элемента. Выделяют два вида прогрессий: арифметическую и геометрическую.

Разберём как решать 14 задание ОГЭ по математике

Прежде всего давайте разберемся с некоторыми ключевыми моментами по задачам на прогрессии в ОГЭ по математике:

Всего существует два вида прогрессий, то есть вам нужно выучить всего 2 темы, чтобы научиться решать это задание
Все формулы по прогрессиям есть в справочном материале, который вам выдадут на ОГЭ, поэтому их запоминать не нужно, достаточно научиться ими пользоваться(все формулы для 14 задания ОГЭ представлены на странице ровно в том виде, в каком они будут на экзамене)
В открытом банке задач ФИПИ видов задач намного меньше, чем на многих популярных сайтах, вы можете поставить в фильтре галочку задания из открытого банка и научиться решать только их - этого будет достаточно для успешного выполнения 14 задания на реальном экзамене ОГЭ. Например, нет задач со змейкой, со столами и тд.

Разберем теорию по каждому виду последовательностей. Вы можете выбрать задачи отдельно по каждой из прогрессий

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается добавлением к предыдущему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии и обозначаемого через d.

Формулы арифметической прогрессии в 14 задании ОГЭ

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Где: a₁ — первый член прогрессии, n — номер члена, d — разность прогрессии

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a_{1} + d \cdot (n - 1)}{2} n

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии и обозначаемое через q.

Формулы геометрической прогрессии в 14 задании ОГЭ

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Где: b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии, n — номер члена

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии (если q ≠ 1):

S_{n} = b_{1} \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

Задачи на арифметические и геометрические прогрессии в ОГЭ

Задачи на прогрессии встречаются в 14 задании ОГЭ по математике. На данной странице мы собрали самые актуальные прототипы 14 задания на арифметические и геометрические прогрессии и разделили их по уровням сложности.

Для всех типов заданий вы найдете подробный разбор в блоке решения, который поможет вам лучше понять

Всю теорию на прогрессии вы можете найти в справочнике

Арифметическая прогрессия

Задачи вперемешку

Геометрическая прогрессия

Задача №1

14 задание в ОГЭ

В кинозале, который имеет форму сектора, 22 ряда, причем в каждом следующем ряду на одно и тоже число мест больше, чем в предыдущем. В 9 ряду 63 мест, а в 18 ряду 117 мест. Сколько мест в 14 ряду кинозала?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} a_{9} = 63 \\ a_{18} = 117 \\ a_{14} = ? \end{array}

Решение:

nый элемент арфиметической прогрессии вычисляется по формуле

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Тогда мы можем записать формулы для вычисления количества мест в x и y рядах и объединить их в систему линейных уравнений:

{\begin{cases} \begin{matrix} a_{9} = a_{1} + d \cdot (9 - 1) \\ a_{18} = a_{1} + d \cdot (18 - 1) \end{matrix} \end{cases}

Подставим все известное:

{\begin{cases} \begin{matrix} 63 = a_{1} + d \cdot 8 \\ 117 = a_{1} + d \cdot 17 \end{matrix} \end{cases}

Далее вычтим из 2го уравнения 1ое (из большего меньшее):

117 - 63 = a_{1} + d \cdot 17 - (a_{1} + d \cdot 8)

Раскроем скобки и упростим:

54 = 9 \cdot d

Заметим, что в таком случае а1 у нас вычитается и пропадает из уравнения, тогда останется только одна неизвестная d (разность прогрессии).
Теперь остается только решить линейное уравнение, чтобы найти разность прогрессии:

d = \frac{54}{9} = 6

Когда мы нашли d, то можем подставить в одной из двух уравнений системы (например в первое) и вычислить первый элемент прогрессии:

63 = a_{1} + d \cdot (9 - 1) ⟹ a_{1} = 63 - 6 \cdot 8 ⟹ a_{1} = 15

Теперь когда нам известны и первый элемент прогрессии и разность прогрессии мы можем воспользоваться той же формулый nго элемента и вычислить сколько мест в 14 ряду:

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1) ⟹ a_{14} = 15 + 6 \cdot (14 - 1) = 93

Задача №2

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Период полураспада изотопа А составляет 3 года, это значит, что каждые три года при а - распаде половина всего вещества А превращается в стабильный изотоп Б. Сколько будет массы образовавшегося изотопа Б через 27 лет, если изначально вещества А было 1536 мг.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение
Через 3 года произойдет один полураспад ядер вещества А, значит мы получим 768 мг вещества А и 768 мг вещества Б.
Еще через 3 года нестабильное вещество А снова испытает полураспад и его останется 384 мг, а вещества Б 768 + 384
Заметим, что 768 в 2 раза меньше, чем 1536, а 384 в 2 раза меньше 768, наблюдается появление вещества Б в геометрической убывающей прогрессии со знаменателем

q = \frac{1}{2}

.
За 27 лет с периодом полураспада 3 года успеет произойти 9 полураспадов вещества А, а значит мы получим 9 элементов геометрической прогрессии появляющейся массы вещества Б.
Так как нам необходимо вычислить общую массу образовавшегося вещества Б, то это значит, что мы должны будет сложить 9 элементов геометрической прогрессии.
Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

S_{n} = \frac{b_{1} \cdot (1 - q^{n})}{1 - q}

Первый элемент и разность геометрической прогрессии мы нашли, можем подставлять и вычислять:

S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{9})}{1 - \frac{1}{2}}

воспользуемся свойством степени:

(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a^{m}}{b^{m}}

S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1^{9}}{2^{9}})}{\frac{1}{2}}

далее возведем 1 и 2 в 9 степень

S_{9} = \frac{768 \cdot (1 - \frac{1}{512})}{\frac{1}{2}}

приведем 1 к общему знаменателю 512 через умножение и вычислим вычитание дроби:

S_{9} = 768 \cdot \frac{511}{512} : \frac{1}{2}

мы заменили знак дроби на классический знак деления ":", теперь заменим деление на умножение и перевернем дробь, на которую делим:

S_{9} = 768 \cdot \frac{511}{512} \cdot \frac{2}{1}

аккуратно скоратим дробь несколько раз на 2 и получим ответ:

S_{9} = 1533

Теперь дайте попробуем альтернативное решение (оно будет покороче)
За 27 лет с периодом полураспада вещество изотопа А успеет пройти через 9 полураспадов, то есть потерять половину свой массы 9 раз.
Тогда если мы имеющуюся массу вещества А поделим на 2 9 раз, то мы сможем вычислить, сколько его останется после 9 полураспадов:

\frac{1536}{2^{9}} = 3

Если изначально у нас было 1536 мг вещества, оно 27 лет превращалось в вещество Б и у нас после всех эти превращений осталось только 3мг вещества А, то вещества Б станет 1533 мг. :)

Задача №3

14 задание в ОГЭ

Каждый год люди переезжали из маленького города А в соседний крупный город Б и количество жителей убывало на одну и ту же величину. В 2015 году население маленького города А составляло 35700 человек. В конце 2023 года в городе проживало 29900 человек. На сколько людей больше проживало в городе в 2013 году по сравнению с 2020?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} a_{3} = 35700 \\ a_{11} = 29900 \\ a_{1} - a_{8} = ? \end{array}

Решение:

nый элемент арфиметической прогрессии вычисляется по формуле

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Тогда мы можем записать формулы для вычисления количества людей в 2015 и 2023 годах и объединить их в систему линейных уравнений:

{\begin{cases} \begin{matrix} a_{3} = a_{1} + d \cdot (3 - 1) \\ a_{11} = a_{1} + d \cdot (11 - 1) \end{matrix} \end{cases}

Подставим все известное:

{\begin{cases} \begin{matrix} 35700 = a_{1} + d \cdot 2 \\ 29900 = a_{1} + d \cdot 10 \end{matrix} \end{cases}

Далее вычтим из 2го уравнения 1ое (из большего меньшее):

35700 - 29900 = a_{1} + d \cdot 2 - (a_{1} + d \cdot 10)

Раскроем скобки и упростим:

5800 = - 8 \cdot d

d = \frac{5800}{- 8} = - 725

Теперь когда нам известны и третий элемент прогрессии и разность прогрессии мы можем воспользоваться той же формулой nго элемента и вычислить сколько человек проживало в 2013 ряду:

a_{3} = a_{1} + d \cdot (3 - 1) ⟹ a_{1} = a_{3} - d \cdot 2 ⟹ a_{1} = 35700 - (- 725) \cdot 2 = 37150

Аналогично найдем количество жителей в 2020 году:

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1) ⟹ a_{8} = a_{1} + d \cdot (8 - 1) = a_{1} + d \cdot 7 = 37150 + (- 725) \cdot 7 = 32075

Осталось лишь вычислить разницу, чтобы понять на сколько в 2013 году население было больше, чем в 2020:

a_{1} - a_{8} = 37150 - 32075 = 5075

Задача №4

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Мальчик, который может сделать уверенных 7 подтягиваний обратился к своему тренеру за советом. Тот в свою очередь быстро составил программу тренировок для мальчика на месяц (15 дней тренировок и 15 дней отдыха между ними). Ежедневная тренировка разбивалась на 2 одинаковых части в день. В первый день мальчик должен был подойти к турнику и сыграть в лесенку (сначала 2 подтягивания, после небольшого перерыва в 20-30 секунд 3 подтягивания и так далее до тех пор, пока не дойдет до 5, а затем так же в обратную сторону на убывание, 4 подтягиваний, затем 3 и последний подход возвращает к 1 подтягиванию). В каждый следующий тренировочный день мальчик должен был количество минимальных и максимальных подтягиваний увеличивать на 1, то есть во второй тренировочный день он начинает с 3 подтягиваний и доходит по лесенки до 6 и снова спускается до 3). Сколько в сумме сделает подтягиваний мальчик за месяц тренировок?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} a_{1 m i n} = 2 \\ a_{1 m a x} = 5 \\ a_{2 m i n} = 3 \\ a_{2 m a x} = 6 \\ a_{3 m i n} = 4 \\ a_{3 m a x} = 7 \\ . . . \end{array}

Решение:

Заметим, что каждый тренировочный день мальчика по количеству подтягиваний составлял две арифметических прогрессий (возрастающую и убывающую) с одинаковой разностью прогрессии d = 1.
А также минимальные и максимальные количества подтягиваний в каждый следующий тренировочный день тоже являются возрастающей арифметической прогрессией с той же разностью d = 1/.
Для начала предлагаю записать формулу для вычисления суммы арифметической прогрессии и формулу для нахождения nго элемента прогрессии:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot d

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Так же давайте обратим внимание, что мы можем в каждом тренировочном дне развернуть убывающую лесенку для удобства в подсчетах.
Затем удобно будет рассмотреть каждый подход в каждый тренировочный день как отдельную арифметическую прогрессию:
1ый подход) 2, 3, 4 и тд. (всего количество элементов будет равняться количеству тренировочных дней)
2ой подход) 3, 4, 5 и тд. аналогично
3ий подход) 4, 5, 6
Тогда возникает вопрос, а сколько всего подходов будет на возрастание, на него легко ответить рассмотрев пару тренировочных дней:
1ый день) 3, 4, 5
2ой день) 4, 5, 6
3ий день) 5, 6, 7
Видно, что мальчик будет делать 3 подхода на возрастание каждый день и каждый день количество повторений в каждом подходе будет на 1 больше, чем в предыдущий тренировочный день
Тогда по записанным ранее двум формулам мы можем вычислить количество минимальных повторений в последний (15ый) тренировочный день и вычислить сумму повторений, которые мальчик сделает в возрастающей лесенке:

a_{15 m i n} = a_{1 m i n} + 1 \cdot (15 - 1) = 2 + 14 = 16

S_{15 m i n} = \frac{a_{1 m i n} + a_{15 m i n}}{2} \cdot 15 = \frac{2 + 16}{2} \cdot 15 = 135

Теперь осталось рассмотреть сколько в сумме мальчик каждый день делает повторений на убывающей лесенке, попробуем и здесь определить закономерность.
В первый тренировочный день это будет 1, 2, 3, 4, 5 (если смотреть с конца этой убывающей лесенки).
Во второй 1, 2, 3, 4, 5, 6.
В третий 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Думаю вы уже и сами заметили, что от 1 до 5 повторений каждый тренировочный день повторяется, а максимальное количество потворений (как уже мы заметили раньше) увеличивается на d = 1, то есть само по себе тоже является возрастающей арифметической прогрессией.
А значит нам будет удобно вычислить сумму максимальных значений повторений за 15 тренировочных дней, а от 1 до 5 отдельно и просто умножить на 15, потому что все 15 тренировочных дней мальчик будет повторять эту последовательность.
Для этого сначала вычислим количество максимальный повторений в последний день:

a_{15 m a x} = a_{1 m a x} + 1 \cdot (15 - 1) = 5 + 14 = 19

А теперь можем вычислить сумму этих максимальных повторений за 15 дней:

S_{15 m a x} = \frac{a_{1 m a x} + a_{15 m a x}}{2} \cdot 15 = \frac{5 + 19}{2} \cdot 15 = 180

Осталось лишь посчитать сумму арифметической прогрессии от 1 до 5, которую мальчик повторяет каждый день в убывающей лесенки и умножить эту сумму на 15:

15 \cdot S_{5} = 15 \cdot \frac{1 + 5}{2} \cdot 5 = 225

Сложим полученные суммы повторений за 15 дней тренировок:

S = S_{15 m i n} + S_{15 m a x} + 15 \cdot S_{5} = 135 + 180 + 225 = 540

Но это еще не ответ, помним, что каждый тренировочный день разбивался на 2 одинаковые тренировки, а значит все наши рассуждения удваиваются и в сумме мы получим в два раза больше:

S \cdot 2 = 540 \cdot 2 = 1080

Задача №5

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В арифметической прогрессии сумма первых n членов равна 225, а разность прогрессии равна 5. Последний член равен 45. Найдите первый член и количество членов прогрессии. В ответ запишите их без разделительных знаков слитно.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Обозначим первый член прогрессии как $a_{1}$ , количество членов как $n$ , разность прогрессии $d = 5$ .

По формуле n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставляем значение последнего члена:

45 = a_{1} + (n - 1) 5

Формула суммы первых n членов:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Подставляем известные значения:

225 = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) 5)

Решаем систему уравнений:

\begin{matrix} 1) & 45 = a_{1} + 5 (n - 1) \\ 2) & 225 = \frac{n}{2} (2 a_{1} + 5 (n - 1)) \end{matrix}

Из первого уравнения выражаем $a_{1}$ :

a_{1} = 45 - 5 (n - 1)

Подставляем во второе уравнение:

225 = \frac{n}{2} [2 (45 - 5 (n - 1)) + 5 (n - 1)]

Упростим:

225 = \frac{n}{2} (90 - 10 (n - 1) + 5 (n - 1))

Объединим внутри скобок:

225 = \frac{n}{2} (90 - 5 (n - 1))

Раскрываем скобки в правой части:

225 = \frac{n}{2} (90 - 5 n + 5)

Подставим и упростим сумму в скобках:

225 = \frac{n}{2} (95 - 5 n)

Умножаем обе части уравнения на 2:

450 = n (95 - 5 n)

Раскрываем скобки справа:

450 = 95 n - 5 n^{2}

Переносим все члены в одну часть:

5 n^{2} - 95 n + 450 = 0

Делим на 5 для упрощения:

n^{2} - 19 n + 90 = 0

Вычисляем дискриминант:

D = 19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1

Находим корни уравнения:

n = \frac{19}{2} \pm \frac{\sqrt{D}}{2}

Подставляем значение дискриминанта:

n 1 = \frac{19}{2} + \frac{1}{2} = 10

n 2 = \frac{19}{2} - \frac{1}{2} = 9

Выбираем $n = 10$ , так как последний член равен 45.

Вычисляем первый член прогрессии:

a_{1} = 45 - 5 (10 - 1)

= 45 - 45 = 0

Ответ: первый член равен 0, количество членов 10.

Задача №6

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В арифметической прогрессии известно, что сумма первых 20 членов равна 210, а десятый член равен 15. Найдите первый член и разность прогрессии.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Обозначим первый член прогрессии как $a_{1}$ , разность прогрессии как $d$ .

По формуле n-го члена арифметической прогрессии известен десятый член:

a_{10} = a_{1} + 9 d = 15

По формуле суммы первых n членов прогрессии:

S_{20} = \frac{20}{2} (2 a_{1} + 19 d) = 210

Упрощаем сумму:

10 (2 a_{1} + 19 d) = 210

Делим обе части уравнения на 10:

2 a_{1} + 19 d = 21

Запишем систему уравнений:

{\begin{matrix} a_{1} + 9 d & = 15 \\ 2 a_{1} + 19 d & = 21 \end{matrix}}

Выразим $a_{1}$ из первого уравнения:

a_{1} = 15 - 9 d

Подставим во второе уравнение:

2 (15 - 9 d) + 19 d = 21

Раскрываем скобки и упрощаем:

30 - 18 d + 19 d = 21

Объединяем слагаемые с $d$ :

30 + 1 d = 21

Вычисляем:

1 d = 21 - 30 = - 9

То есть:

d = - 9

Подставляем значение $d$ в выражение для $a_{1}$ :

a_{1} = 15 - 9 \times (- 9) = 15 + 81 = 96

Ответ: первый член прогрессии равен 96, разность равна -9.

Задача №7

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В арифметической прогрессии первый член равен 5, разность равна 3. Найдите сумму первых 30 членов и 30-й член прогрессии. В ответ запишите их слитно, без разделительных знаков.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Даны: $a_{1} = 5$ , $d = 3$ .

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

Подставляем $n = 30$ , $a_{1} = 5$ , и $d = 3$ :

S_{30} = \frac{30}{2} (25 + (30 - 1) 3)

Упрощаем выражение в скобках:

10

30 - 1 = 29

293 = 87

Сумма в скобках:

10 + 87 = 97

Теперь находим сумму:

\frac{30}{2} = 15

15 \times 97 = 1455

Формула для n-го члена прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставляем $n=30$ и вычисляем:

a_{30} = 5 + (30 - 1) 3

5 + 29 \times 3 = 5 + 87 = 92

Ответ: сумма первых 30 членов равна 1455, 30-й член равен 92.

Задача №8

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Сумма третьего и седьмого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение второго и восьмого членов равно 28. Найдите первый член и разность прогрессии.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Запишем условия задачи в виде уравнений:

a_{3} + a_{7} = 16

a_{2} \cdot a_{8} = 28

Выразим все члены через первый член a₁ и разность d:

a_{3} = a_{1} + 2 d

a_{7} = a_{1} + 6 d

a_{2} = a_{1} + d

a_{8} = a_{1} + 7 d

Подставим в первое уравнение:

(a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 6 d) = 16

2 a_{1} + 8 d = 16

a_{1} + 4 d = 8

Подставим во второе уравнение:

(a_{1} + d) \cdot (a_{1} + 7 d) = 28

Выразим a₁ из первого уравнения: a₁ = 8 - 4d

Подставим во второе уравнение:

(8 - 4 d + d) \cdot (8 - 4 d + 7 d) = 28

(8 - 3 d) \cdot (8 + 3 d) = 28

64 - 9 d^{2} = 28

9 d^{2} = 36

d^{2} = 4

d = \pm 2

Найдем a₁ для каждого случая:

Если d = 2: a₁ = 8 - 4×2 = 0

Если d = -2: a₁ = 8 - 4×(-2) = 16

Задача №9

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна 3n² + 5n. Найдите разность прогрессии и ее первый член. В ответ запишите их слитно без разделительных знаков.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Сумма первых n членов: Sₙ = 3n² + 5n

Сумма первых (n-1) членов: Sₙ₋₁ = 3(n-1)² + 5(n-1)

n-й член прогрессии: aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

a_{n} = (3 n^{2} + 5 n) - [3 {(n-1)}^{2} + 5 (n-1)]

a_{n} = 3 n^{2} + 5 n - [3 n^{2} - 6 n + 3 + 5 n - 5]

a_{n} = 3 n^{2} + 5 n - 3 n^{2} + n + 2

a_{n} = 6 n + 2

Таким образом, n-й член прогрессии: aₙ = 6n + 2

Первый член: a₁ = 6×1 + 2 = 8

Второй член: a₂ = 6×2 + 2 = 14

Разность: d = a₂ - a₁ = 14 - 8 = 6

Задача №10

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В арифметической прогрессии сумма третьего и пятого членов равна 14, а сумма второго и четвертого членов равна 10. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Запишем условия:

a_{3} + a_{5} = 14

a_{2} + a_{4} = 10

Выразим через a₁ и d:

(a_{1} + 2 d) + (a_{1} + 4 d) = 14

2 a_{1} + 6 d = 14

a_{1} + 3 d = 7

(a_{1} + d) + (a_{1} + 3 d) = 10

2 a_{1} + 4 d = 10

a_{1} + 2 d = 5

Решим систему уравнений:

{\begin{matrix} a_{1} + 3 d = 7 \\ a_{1} + 2 d = 5 \end{matrix}

Вычтем из первого уравнения второе:

(a_{1} + 3 d) - (a_{1} + 2 d) = 7 - 5

d = 2

Найдем a₁: a₁ + 2×2 = 5 ⇒ a₁ = 1

Сумма первых 10 членов:

S_{10} = \frac{2 a_{1} + 9 d}{2} \cdot 10

S_{10} = \frac{2 \times 1 + 9 \times 2}{2} \cdot 10

S_{10} = \frac{2 + 18}{2} \cdot 10

S_{10} = 10 \cdot 10 = 100

Задача №11

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Между числами 2 и 18 вставьте четыре числа так, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Всего будет 6 чисел: a₁ = 2, a₆ = 18

Найдем разность прогрессии:

a_{6} = a_{1} + 5 d

18 = 2 + 5 d

5 d = 16

d = 3.2

Найдем вставляемые числа:

a₂ = 2 + 3.2 = 5.2

a₃ = 5.2 + 3.2 = 8.4

a₄ = 8.4 + 3.2 = 11.6

a₅ = 11.6 + 3.2 = 14.8

Задача №12

14 задание в ОГЭ

Найдите сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 4 дают остаток 3.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Трехзначные числа, дающие остаток 3 при делении на 4: 103, 107, 111, ..., 999

Это арифметическая прогрессия с a₁ = 103, d = 4

Найдем количество членов:

a_{n} = 999

a_{1} + (n - 1) d = 999

103 + (n - 1) \times 4 = 999

(n - 1) \times 4 = 896

n - 1 = 224

n = 225

Найдем сумму:

S_{225} = \frac{a_{1} + a_{225}}{2} \cdot n

S_{225} = \frac{103 + 999}{2} \cdot 225

S_{225} = \frac{1102}{2} \cdot 225

S_{225} = 551 \cdot 225 = 123975

Задача №13

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10, а сумма второго и четвертого членов равна 20. Найдите первый член и знаменатель прогрессии. В ответ запишите их без раздилительных знаков.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{3} = 10

b_{2} + b_{4} = 20

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q^{2} = 10

b_{1} q + b_{1} q^{3} = 20

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q^{2}) = 10

b_{1} q (1 + q^{2}) = 20

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q^{2})}{b_{1} (1 + q^{2})} = \frac{20}{10}

q = 2

Найдем b₁ из первого уравнения:

b_{1} (1 + 2^{2}) = 10

b_{1} (1 + 4) = 10

5 b_{1} = 10

b_{1} = 2

Задача №14

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Числовые последовательности (Числовые последовательности) 9 класс

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 15, а сумма второго и третьего членов равна 30. Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{2} = 15

b_{2} + b_{3} = 30

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q = 15

b_{1} q + b_{1} q^{2} = 30

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q) = 15

b_{1} q (1 + q) = 30

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q)}{b_{1} (1 + q)} = \frac{30}{15}

q = 2

Найдем b₁ из первого уравнения:

b_{1} (1 + 2) = 15

3 b_{1} = 15

b_{1} = 5

Найдем сумму первых шести членов:

S_{6} = b_{1} \cdot \frac{q^{6} - 1}{q - 1}

S_{6} = 5 \cdot \frac{2^{6} - 1}{2 - 1}

S_{6} = 5 \cdot \frac{64 - 1}{1}

S_{6} = 5 \cdot 63 = 315

Задача №15

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Числовые последовательности (Числовые последовательности) 9 класс

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Три числа, сумма которых равна 31, образуют геометрическую прогрессию. Если от третьего числа отнять 3, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа. В ответ запишите числители этих чисел без пробелов.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Пусть три числа геометрической прогрессии: b₁, b₂, b₃

По условию: b₁ + b₂ + b₃ = 31

Так как это геометрическая прогрессия: b₂ = b₁q, b₃ = b₁q²

Подставим:

b_{1} + b_{1} q + b_{1} q^{2} = 31

b_{1} (1 + q + q^{2}) = 31

Если от третьего числа отнять 3, то получится арифметическая прогрессия:

b₁, b₁q, b₁q² - 3 - арифметическая прогрессия

Для арифметической прогрессии: 2b₁q = b₁ + (b₁q² - 3)

2 b_{1} q = b_{1} + b_{1} q^{2} - 3

2 b_{1} q - b_{1} - b_{1} q^{2} = - 3

b_{1} (2 q - 1 - q^{2}) = - 3

Решим систему уравнений:

{\begin{matrix} b_{1} (1 + q + q^{2}) = 31 \\ b_{1} (2 q - 1 - q^{2}) = - 3 \end{matrix}

Разделим первое уравнение на второе:

\frac{1 + q + q^{2}}{2 q - 1 - q^{2}} = - \frac{31}{3}

Умножим обе части на знаменатель:

3 (1 + q + q^{2}) = - 31 (2 q - 1 - q^{2})

3 + 3 q + 3 q^{2} = - 62 q + 31 + 31 q^{2}

28 q^{2} - 65 q + 28 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 65 2^{2} - 4 \cdot 28 \cdot 28 = 4225 - 3136 = 1089

\sqrt{D} = 33

q = \frac{65 \pm 33}{2 \cdot 28} = \frac{65 \pm 33}{56}

Два решения:

q₁ = (65 + 33)/56 = 98/56 = 7/4 = 1.75

q₂ = (65 - 33)/56 = 32/56 = 4/7 ≈ 0.571

Найдем b₁ для каждого случая:

Для q = 7/4: b₁(1 + 7/4 + 49/16) = 31

b_{1} (\frac{16}{16} + \frac{28}{16} + \frac{49}{16}) = 31

b_{1} \cdot \frac{93}{16} = 31

b_{1} = 31 \cdot \frac{16}{93} = \frac{496}{93} = \frac{16}{3}

Тогда числа: 16/3, 28/3, 49/3

Для q = 4/7: b₁(1 + 4/7 + 16/49) = 31

b_{1} (\frac{49}{49} + \frac{28}{49} + \frac{16}{49}) = 31

b_{1} \cdot \frac{93}{49} = 31

b_{1} = 31 \cdot \frac{49}{93} = \frac{1519}{93} = \frac{49}{3}

Тогда числа: 49/3, 28/3, 16/3, тогда в ответ запишем числители чисел без пробелов:492816

Задача №16

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Числовые последовательности (Числовые последовательности) 9 класс

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 64. Найдите первый член этой прогрессии.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Сумма бесконечной прогрессии:

S = \frac{b_{1}}{1 - q} = 4

Прогрессия из кубов: b₁³, b₁³q³, b₁³q⁶, ...

Это тоже геометрическая прогрессия с первым членом b₁³ и знаменателем q³

Ее сумма:

\frac{b_{1}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

Из первого уравнения: b₁ = 4(1 - q)

Подставим во второе:

\frac{64^{3} {(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

\frac{64 {(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 64

\frac{{(1-q)}^{3}}{1 - q^{3}} = 1

Разложим знаменатель: 1 - q³ = (1 - q)(1 + q + q²)

\frac{{(1-q)}^{3}}{(1 - q) (1 + q + q^{2})} = 1

\frac{{(1-q)}^{2}}{1 + q + q^{2}} = 1

{(1-q)}^{2} = 1 + q + q^{2}

1 - 2 q + q^{2} = 1 + q + q^{2}

- 2 q = q

- 3 q = 0

q = 0

Найдем b₁: b₁ = 4(1 - 0) = 4

Задача №17

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если сумма ее первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Запишем условия:

b_{1} + b_{5} = 51

b_{2} + b_{6} = 102

Выразим через b₁ и q:

b_{1} + b_{1} q^{4} = 51

b_{1} q + b_{1} q^{5} = 102

Вынесем общие множители:

b_{1} (1 + q^{4}) = 51

b_{1} q (1 + q^{4}) = 102

Разделим второе уравнение на первое:

\frac{b_{1} q (1 + q^{4})}{b_{1} (1 + q^{4})} = \frac{102}{51}

q = 2

Задача №18

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Поезд начал движение от станции! За первую секунду он проехал всего 0,6 м, но с каждой следующей секундой набирал скорость и проезжал на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько всего метров проедет поезд за первые 7 секунд движения? ?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Это удивительно, но движение поезда описывается арифметической прогрессией! ?

a_{1} = 0.6

(скромные 0,6 м за первую секунду)

d = 0.1

(каждую секунду прибавляем по 0,1 м - поезд разгоняется! ?)

Нам нужно найти сумму расстояний за 7 секунд - это S₇!

Сначала найдем, сколько проедет поезд за 7-ю секунду:

a_{7} = a_{1} + (7 - 1) d

a_{7} = 0.6 + 6 \times 0.1

a_{7} = 0.6 + 0.6

a_{7} = 1.2

Уже в 2 раза больше! ?

Теперь найдем общий путь за 7 секунд:

S_{7} = \frac{a_{1} + a_{7}}{2} \cdot 7

S_{7} = \frac{0.6 + 1.2}{2} \cdot 7

S_{7} = \frac{1.8}{2} \cdot 7

S_{7} = 0.9 \cdot 7

S_{7} = 6.3

Задача №19

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Команда маляров красит забор общей длиной 240 метров. С каждым днем они увеличивают объем работы на одинаковое количество метров. Известно, что в первый и последний день работы вместе они покрасили 60 метров забора. За какое количество дней был полностью покрашен весь забор?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Это интересная задача на арифметическую прогрессию! Давайте обозначим:

a_{1} = x

(метров покрасили в первый день)

d = y

(ежедневное увеличение нормы покраски)

n = k

(искомое количество дней работы)

Из условия задачи известно:

a_{1} + a_{n} = 60

И общая длина покрашенного забора:

S_{n} = 240

Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Подставим известные значения в формулу:

240 = \frac{60}{2} \cdot n

240 = 30 \cdot n

n = \frac{240}{30}

n = 8

Задача №20

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Автомобиль начинает экстренное торможение! В первую секунду он успевает проехать 24 метра, но с каждой последующей секундой путь сокращается на 3 метра по сравнению с предыдущей секундой. Какое общее расстояние проедет автомобиль за первые 6 секунд торможения?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Перед нами классический пример арифметической прогрессии! Разберем по шагам:

Исходные данные:

a_{1} = 24

(путь за первую секунду - 24 метра)

d = - 3

(ежесекундное уменьшение пути на 3 метра)

Нам нужно найти сумму пути за 6 секунд, то есть S₆

Сначала определим, сколько проедет автомобиль за 6-ю секунду:

a_{6} = a_{1} + (6 - 1) d

a_{6} = 24 + 5 \times (- 3)

a_{6} = 24 - 15

a_{6} = 9

Теперь вычислим общий путь за 6 секунд:

S_{6} = \frac{a_{1} + a_{6}}{2} \cdot 6

S_{6} = \frac{24 + 9}{2} \cdot 6

S_{6} = \frac{33}{2} \cdot 6

S_{6} = 16.5 \cdot 6

S_{6} = 99

Задача №21

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Концертный зал имеет 12 рядов для зрителей. В первом ряду расположено 20 мест, и в каждом следующем ряду на 4 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест находится в десятом ряду этого зала?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Перед нами прекрасный пример арифметической прогрессии! Давайте разберемся:

Исходные данные:

a_{1} = 20

(в первом ряду 20 мест)

d = 4

(в каждом следующем ряду на 4 места больше)

Нам нужно найти количество мест в десятом ряду, то есть a₁₀

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставим значения для n = 10:

a_{10} = 20 + (10 - 1) \times 4

a_{10} = 20 + 9 \times 4

a_{10} = 20 + 36

a_{10} = 56

Задача №22

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В научной лаборатории проводят эксперимент с бактериальной культурой. Исходная масса культуры составляет 15 мг. Каждые 20 минут количество бактерий удваивается, соответственно увеличивается и масса культуры. Какой будет масса бактериальной культуры через 100 минут после начала эксперимента? Ответ выразите в миллиграммах.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Перед нами увлекательный пример геометрической прогрессии! Разберем по шагам:

Исходные данные эксперимента:

b_{1} = 15

(начальная масса культуры - 15 мг)

q = 2

(масса удваивается каждые 20 минут)

Определим, сколько периодов по 20 минут прошло за 100 минут:

n = \frac{100}{20} = 5

Прошло 5 полных периодов удвоения! ?

Нам нужно найти массу после 5 периодов, то есть b₆

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Подставим значения для n = 6:

b_{6} = 15 \cdot 2^{6 - 1}

b_{6} = 15 \cdot 2^{5}

b_{6} = 15 \cdot 32

b_{6} = 480

Задача №23

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Числовые последовательности)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Арифметическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

В химической лаборатории проводят опыт по охлаждению жидкости. Начальная температура вещества была 15°C. В течение 12 минут вещество равномерно охлаждается, причем каждую минуту температура понижается на 5°C. Определите температуру вещества через 5 минут после начала эксперимента.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Перед нами классический пример арифметической прогрессии! Разберем подробно:

Исходные данные эксперимента:

a_{1} = 15

(начальная температура 15°C)

d = - 5

(температура понижается на 5°C каждую минуту)

Нам нужно найти температуру через 5 минут, то есть a₅

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Подставим значения для n = 5:

a_{5} = 15 + (5 - 1) \times (- 5)

a_{5} = 15 + 4 \times (- 5)

a_{5} = 15 - 20

a_{5} = - 5

Задача №24

14 задание в ОГЭ

Темы задачи

Последовательности, способы задания последовательностей (Функции и графики)

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов (Числовые последовательности)

Геометрическая прогрессия (Числовые последовательности) 9 класс

Резиновый мяч уронили с высоты. При первом отскоке он подпрыгнул на 4,8 метра, а при каждом следующем отскоке высота подъема уменьшалась в 4 раза по сравнению с предыдущей. На каком по счету отскоке мяч впервые не сможет подняться выше 20 см?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

Перед нами интересная задача на геометрическую прогрессию! Разберем внимательно:

Исходные данные:

b_{1} = 4.8

(высота первого отскока 4,8 м)

q = \frac{1}{4}

(высота уменьшается в 4 раза с каждым отскоком)

Нам нужно найти, при каком n высота станет меньше 20 см = 0,2 м

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}

Составим неравенство:

b_{n} < 0.2

4.8 \cdot {(\frac{1}{4})}^{n - 1} < 0.2

Проверим значения для разных n:

При n = 3: b₃ = 4,8 ⋅ (1/4)² = 4,8 ⋅ 1/16 = 0,3 м = 30 см > 20 см

При n = 4: b₄ = 4,8 ⋅ (1/4)³ = 4,8 ⋅ 1/64 = 0,075 м = 7,5 см < 20 см

Таким образом, при 4-м отскоке высота впервые станет меньше 20 см.

Разберём как решать 14 задание ОГЭ по математике

Формулы арифметической прогрессии в 14 задании ОГЭ

Геометрическая прогрессия

Формулы геометрической прогрессии в 14 задании ОГЭ

Задачи на арифметические и геометрические прогрессии в ОГЭ

Задача №1

Решение:

Задача №2

Задача №3

Решение:

Задача №4

Решение:

Задача №5

Задача №6

Задача №7

Задача №8

Решение:

Задача №9

Решение:

Задача №10

Решение:

Задача №11

Решение:

Задача №12

Решение:

Задача №13

Решение:

Задача №14

Решение:

Задача №15

Решение:

Задача №16

Решение:

Задача №17

Решение:

Задача №18

Решение:

Задача №19

Решение:

Задача №20

Решение:

Задача №21

Решение:

Задача №22

Решение:

Задача №23

Решение:

Задача №24

Решение:

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки