Тригонометрия в ОГЭ по математике

На данной странице разберём основные задачи с синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами в первой части ОГЭ по математике. Мы собрали все геометрические задания из первой части, в решении которых используются тригонометрические величины по определению с использованием прямоугольного треугольника.

01 Теория по тригонометрии в ОГЭ по математике
- 01.1 Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса
- 01.2 Табличные значения
02 Тренажёры по заданиям с тригонометрией из ОГЭ
03 Печатные версии тренажёров
04 Похожие темы

Устали от рекламы? Отключите её раз и навсегда единоразовой покупкой.

🚫 Отключить рекламу

Тригонометрические задачи в 15 задании ОГЭ по математике проверяют знания основных тригонометрических функций и умение решать задачи на вычисление углов и сторон треугольников. Это одно из самых сложных заданий для учеников, так как требует хорошего понимания тригонометрии и умения работать с формулами. Мы рассмотрим основные методы решения таких задач и предложим примеры с пошаговыми объяснениями.

Основные тригонометрические формулы для 15 задания ОГЭ

Для решения задач на тригонометрию в ОГЭ по математике нужно знать прежде всего определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса

\sin (α) = \frac{Противолежащий катет}{Гипотенуза}

\cos (α) = \frac{Прилежащий катет}{Гипотенуза}

tg (α) = \frac{Противолежащий катет}{Прилежащий катет}

ctg (α) = \frac{Прилежащий катет}{Противолежащий катет}

Эти функции помогают находить неизвестные стороны и углы треугольника в задачах ОГЭ. При чем в заданиях с прямоугольными треугольниками вам вряд ли понадобятся табличные значения функций, но в заданиях на теорему синусов и теорему косинусов они могут понадобиться.

Табличные значения тригонометрических функций

Функция \ Угол	30°	45°	60°
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tg	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
ctg	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Задачи на тригонометрию в ОГЭ по математике

Ниже мы собрали все задания из ОГЭ по математике на тригонометрию, в которых используются синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы по их определению

Сложность задач:

Добавить темы

Поиск:

Задачи из ОГЭ

1. Тригонометрия в прямоугольных треугольниках на ОГЭ

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

Треугольник (Геометрия)

Прямоугольные треугольники (Геометрия) 7 класс

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Некоторые свойства и признаки прямоугольных треугольников (Геометрия) 7 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Раньше, геометрических задач на синусы, косинусы и тангенсы практически не было на экзамене, однако в последнее время они встречаются почти в каждом варианте на реальном экзамене. Именно поэтому мы настоятельно рекомендуем нарешать задачи из тренажёра ниже очень тщательно и до полного понимания материала. Вся теория, необходимая для выполнения пятнадцатого задания на тригонометрию ждет вас прямо перед решением задач. Так же по ссылке к каждой задаче вы найдете ответы и решения.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30√5, BC = 16√5. Найдите ctg∠A.

Рисунок прямоугольного треугольника. Задание 15 ОГЭ по математике

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

Определение: Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.

1. Для угла ∠A отрезок AC является нужным по определению катетом, а BC — вторым катетом.

ctg ∠ A = \frac{AC}{BC} = \frac{30√5}{16√5}

2. Сокращаем корни и общие множители:

\frac{30}{16} = \frac{15}{8} = 1.88

Ответ: 1.88

2. Задания на теорему синусов

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

Треугольник (Геометрия)

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° (Геометрия) 8 класс

Теорема синусов (Геометрия) 9 класс

Все разновидности 15 заданий из ОГЭ по математике, связанных с теоремой синусов. Тренажёры включают в себя задания на поиск неизвестной стороны, площади через радиус описанной окружности, и самого радиуса описанной около треугольника окружности. Позволяет научиться применять знания формулы теоремы синусов на реальных примерах из экзамена.

В треугольнике сторона a = 10 лежит против угла 60°. Найдите радиус R описанной окружности. В ответе укажите значение, умноженное на √3.

Рисунок треугольника. Задание 15 ОГЭ по математике

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

1. Формула радиуса описанной окружности:

2 R = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow R = \frac{a}{2 \sin A}

2. Подставим значения:

R = \frac{10}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}

3. Сократим двойки в знаменателе:

R = \frac{10}{\sqrt{3}}

Теперь, чтобы получить ответ по условию, умножим это значение на √3:

R = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 10

Ответ: 10

3. Связь между синусом и косинусом

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (Функции)

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

В основе этого задания лежит формула основного тригонометрического тождества, которая в некоторых школах проходится в 9 классе, однако его можно решать и используя определения тригонометрических величин

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $\frac{√7}{4}$ . Найдите sin A.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

Способ 1: Основное тригонометрическое тождество

Воспользуемся формулой sin²A + cos²A = 1:

{(\frac{√7}{4})}^{2} + \sin^{2} A = 1

\frac{7}{16} + \sin^{2} A = 1

\sin^{2} A = 1 - \frac{7}{16}

\sin^{2} A = \frac{9}{16}

\sin A = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4} = 0,75

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

Пусть cos A = AC/AB. Примем AC = √7, а гипотенузу AB = 4.

1. Найдем неизвестный катет по теореме Пифагора:

BC = \sqrt{{AB}^{2} - {AC}^{2}}

BC = \sqrt{4^{2} - {(√7)}^{2}}

BC = \sqrt{16 - 7} = \sqrt{9} = 3

2. По определению sin A:

\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4} = 0,75

Ответ: 0.75

4. Тригонометрия в ОГЭ

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (Функции)

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Вид заданий, в котором по известной функции необходимо найти сторону треугольника

В треугольнике ABC угол С равен 90, AB=4 BC=12. Найдите:cosB

$Иллюстрация к задаче$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

Вспомним определение: tg — противолежащий катет / прилежащий.

1. Запишем определение для tg∠B через стороны треугольника:

tg ∠ B = \frac{AC}{BC}

2. Подставим известные значения (tg∠B = 3.43 и AC = 24):

3.43 = \frac{24}{BC}

3. Выразим и найдем искомую сторону BC:

BC = 24 / 3.43 = 7

Ответ: 7

5. Тригонометрия в равнобедренном треугольнике

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (Функции)

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Вид задач, в которых вам нужно сначала нарисовать рисунок, провести высоту и найти синус или косинус в прямоугольном треугольнике

В треугольнике XYZ XY = YZ, а высота XH делит сторону YZ на отрезки YH = 8 и ZH = 12. Найдите cos∠Y.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

1. По условию треугольник PQR равнобедренный, значит сторона PQ = QR.

Найдем длину всей стороны QR, сложив её части:

QR = QH + RH = 18 + 27 = 45

Следовательно, гипотенуза PQ = 45.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQH (угол H = 90°).

В этом треугольнике для угла ∠Q отрезок QH является прилежащим катетом, а PQ — гипотенузой.

Определение: Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

\cos ∠ Q = \frac{QH}{PQ}

\cos ∠ Q = \frac{18}{45} = 0.4

Ответ: 0.4

6. Прямоугольник и описанная окружность

16 задание в ОГЭ

Темы задачи

Геометрические фигуры и их свойства (Геометрия)

Многоугольники (Геометрия)

Окружность и круг (Геометрия)

Синус и косинус. Тангенс и котангенс (Функции)

Прямоугольник, ромб, квадрат (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Прямоугольник (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Рисунок прямоугольника с описанной окружностью

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Анализ условия: В прямоугольнике диагонали равны и являются диаметрами описанной окружности. Диаметр окружности = диагональ прямоугольника. Синус угла между стороной и диагональю — это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, образованном стороной и диагональю.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, $d$ — его диагональ.
Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника:
$d = 10$
Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$ и диагональю $d$ . Синус угла между ними:
$\sin α = \frac{b}{d} = 0,6$
где $b$ — сторона, противолежащая углу $α$ .
Находим сторону $b$ :
$b = d \cdot \sin α = 10 \cdot 0,6 = 6$
По теореме Пифагора:
$a = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}$

$a = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
Площадь прямоугольника:
$S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48$

Ответ:

S = 48

Задание № 7

17 задание в ОГЭ

Темы задачи

Многоугольники (Геометрия)

Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Параллелограмм (Геометрия) 8 класс

Площадь параллелограмма (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° (Геометрия) 8 класс

Решите задачу:

Стороны параллелограмма равны 14 и 17, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого параллелограмма.

Рисунок параллелограмма с высотой. Задание 17 ОГЭ по математике

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Подробное решение:

1. Площадь параллелограмма можно найти через две стороны и синус угла между ними:

S = a \cdot b \cdot \sin α

2. Подставим значения сторон и угла:

S = 14 \cdot 17 \cdot \sin 30 °

3. Так как sin 30° = 0,5 (катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы), получаем:

S = 14 \cdot 17 \cdot 0,5 = 119

Ответ: 119

8. Равнобедренная трапеция с диагональю

17 задание в ОГЭ

Темы задачи

Многоугольники (Геометрия)

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Трапеция (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° (Геометрия) 8 класс

Равнобедренная трапеция (Геометрия) 8 класс

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.

Рисунок равнобедренной трапеции с диагональю

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Анализ условия: Дана равнобедренная трапеция с основаниями BC = 4 и AD = 9. Диагональ образует с основанием угол 45°.

Найдём проекцию боковой стороны (отрезок AH):
$AH = \frac{-}{2} =$
В прямоугольном треугольнике AHC:
$h = AH \cdot tg (45 °)$
Подставляем значения:
$h = \cdot =$

Ответ: 2,5

9. Тренажёр на тангенс угла

18 задание в ОГЭ

Темы задачи

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника (Геометрия) 8 класс

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла (Геометрия) 9 класс

Задания на тангенс угла на клетчатой бумаге позволяют подготовиться к самому сложному виду 18 заданий ОГЭ по математике. В тренажёрах вы найдете подробное описание решения подобного рода заданий

Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке:

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Решение:

1. Угол острый. Достроим его до прямоугольного треугольника.

2. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета (1кл) к прилежащему(4кл):

tg α = \frac{противолежащий}{прилежащий} = \frac{1}{4} = 0.25

Ответ: 0.25

Задачи на тригонометрию

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

В треугольнике ABC угол С равен 90, AB=4 BC=12. Найдите:cosB

Введите ответ (округлите до сотых при необходимости):

Верно Неверно

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Задачи на тригонометрию

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

В треугольнике ABC угол С равен 90, AB=4 BC=12. Найдите:cosB

Введите ответ (округлите до сотых при необходимости):

Верно Неверно

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Задачи на тригонометрию

15 задание в ОГЭ

Темы задачи

В треугольнике ABC угол С равен 90, AB=4 BC=12. Найдите:cosB

Введите ответ (округлите до сотых при необходимости):

Верно Неверно

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Что нужно выучить для успешного решения задач на тригонометрию?

Для успешного выполнения тригонометрических задач 15 задания ОГЭ необходимо:

Хорошо знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Уметь применять теоремы синусов и косинусов для нахождения неизвестных сторон и углов.
Понимать взаимосвязь между тригонометрическими функциями.
Уметь находить углы через обратные тригонометрические функции

Одна из самых распространённых ошибок - неверный выбор тригонометрической функции для решения задачи. Ученики также могут забыть перевести углы из градусов в радианы или неправильно применить формулы. Чтобы избежать таких ошибок, важно практиковаться на различных типах задач и внимательно проверять свои решения.

Подготовка к заданиям с тригонометрией из ОГЭ по математике

Создайте персональный печатный вариант с заданиями на неравенства для подготовки к ОГЭ в формате оффлайн. Вы можете сами выбрать формат задач на листочке и количество заданий. Всё это совершенно бесплатно.

Просто нажмите на кнопку, выберите уровень сложности, укажите количество задач и отметьте нужные типы упражнений - печатный тренажёр сформируется автоматически.

Платформа ФизМат Скул автоматически сгенерирует подборку заданий в формате PDF, который вы сможете распечатать и использовать для подготовки к экзаменам абсолютно бесплатно.

📚 Печатные тренажёры по тригонометрии в ОГЭ по математике

Распечатайте готовую подборку заданий на тригонометрию из ОГЭ по математике - мы собрали в ней все виды задач из первой части, в решении которых встречаются тригонометрические функции

Тригонометрия в ОГЭ по математике

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике в ОГЭ

Оглавление

Основные тригонометрические формулы для 15 задания ОГЭ

Табличные значения тригонометрических функций

Задачи на тригонометрию в ОГЭ по математике

1. Тригонометрия в прямоугольных треугольниках на ОГЭ

Подробное решение:

2. Задания на теорему синусов

Подробное решение:

3. Связь между синусом и косинусом

Подробное решение:

Способ 1: Основное тригонометрическое тождество

Способ 2: Через прямоугольный треугольник

4. Тригонометрия в ОГЭ

Подробное решение:

5. Тригонометрия в равнобедренном треугольнике

Подробное решение:

6. Прямоугольник и описанная окружность

Задание № 7

Подробное решение:

8. Равнобедренная трапеция с диагональю

9. Тренажёр на тангенс угла

Решение:

Задачи на тригонометрию

Задачи на тригонометрию

Задачи на тригонометрию

Что нужно выучить для успешного решения задач на тригонометрию?

Подготовка к заданиям с тригонометрией из ОГЭ по математике

📚 Печатные тренажёры по тригонометрии в ОГЭ по математике

Создать рабочий листок

Сложность заданий

Количество заданий

Выберите задания для печати

Задание 15 в ОГЭ по математике

Задача на медиану к гипотенузе

Задачи на равнобедренные треугольники

Задачи на теорему Пифагора

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки