15 задание ОГЭ по математике

Решение:

1. Обозначим $\angle \mathrm{KAC}$ = α. Тогда $\angle \mathrm{BAK}$ = α (биссектриса) и $\angle \mathrm{ACK}$ = α (из равнобедренности $△\mathrm{AKC}$).
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. Сумма его углов равна $180°$:
   $$\angle B+\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ACB}=180°$$
   где $\angle \mathrm{BAC}$ = 2α, а $\angle \mathrm{ACB}$ = ∠C = 12°.
3. Подставляем известные значения:
   $$\angle B+2\alpha +$$12° = 180°
4. Из треугольника $\mathrm{AKC}$ выразим $\angle \mathrm{AKC}$. В нём углы: $\angle \mathrm{KAC}$ = α, $\angle \mathrm{ACK}$ = α, значит:
   $$\angle \mathrm{AKC}=180°-2\alpha$$
5. Заметим, что $\angle \mathrm{AKC}$ и $\angle \mathrm{AKB}$ — смежные, поэтому:
   $$\angle \mathrm{AKB}=180°-\angle \mathrm{AKC}=180°-(180°-2\alpha )=2\alpha$$
6. В треугольнике $\mathrm{ABK}$ углы: $\angle \mathrm{BAK}$ = α, $\angle \mathrm{AKB}$ = 2α. Тогда $\angle \mathrm{ABK}$ (он же $\angle B$) равен:
   $$\angle \mathrm{ABK}=180°-\alpha -2\alpha =180°-3\alpha$$
7. Теперь у нас два выражения для $\angle B$:
   $$\angle B=180°-2\alpha -$$12° = 157° - 2α
   и $\angle B$ = 180° - 3α.
8. Приравниваем их:
   $$157°-2\alpha =180°-3\alpha$$
9. Решаем уравнение:
   $$\begin{gathered} 3\alpha -2\alpha =180°-157° \\ \alpha =12° \end{gathered}$$
10. Находим угол $B$:
    $$\angle B=180°-3\alpha =180°-3·$$12° = 180° - 36° = 144°

Способ 1 (через равнобедренные треугольники):

1. Обозначим $\angle \mathrm{ABM}$ = β и $\angle \mathrm{MBC}$ = γ.
2. В равнобедренном $△\mathrm{ABM}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{AM}$): $\angle \mathrm{BAM}$ = β.
3. В равнобедренном $△\mathrm{MBC}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{MC}$): $\angle \mathrm{BCM}$ = γ.
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
   где $\angle A$ = β, $\angle B$ = β + γ, $\angle C$ = 55°.
5. Подставляем:
   $$\beta +(\beta +\gamma )+55°=180°$$
   $$2\beta +\gamma =125°$$
6. Рассмотрим треугольник $\mathrm{BMC}$: $\angle \mathrm{MBC}$ = γ, $\angle \mathrm{BCM}$ = γ, $\angle \mathrm{BMC}$ = 180° - 2γ.
7. Рассмотрим треугольник $\mathrm{AMB}$: $\angle \mathrm{ABM}$ = β, $\angle \mathrm{BAM}$ = β, $\angle \mathrm{AMB}$ = 180° - 2β.
8. Углы $\angle \mathrm{AMB}$ и $\angle \mathrm{BMC}$ — смежные:
   $$(180°-2\beta )+(180°-2\gamma )=180°$$
   $$360°-2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
9. Имеем систему:
   $$2\beta +\gamma =125°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
10. Вычитаем второе из первого:
    $$\beta =35°$$
11. Угол $A$ равен $\beta$:
    $$\angle A=35°$$

Способ 2 (через свойство медианы):

1. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ медиана $\mathrm{BM}$ равна половине стороны $\mathrm{AC}$, к которой она проведена:
   $$\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$$
2. Важное свойство: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, причём прямым является угол, противолежащий этой стороне.
   $$\angle \mathrm{ABC}=90°$$
3. Докажем это свойство. В нашем случае точка $M$ — середина гипотенузы $\mathrm{AC}$ прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому $\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=R$.
4. Итак, $\angle \mathrm{ABC}$ = 90°.
5. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ сумма углов равна 180°:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
6. Подставляем известные значения:
   $$\angle A+90°+55°=180°$$
7. Находим угол A:
   $$\angle A=180°-90°-55°=35°$$