16 задание ОГЭ по математике

Решение:

1. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, $d$ — его диагональ.
2. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника:
   $$d=10$$
3. Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$ и диагональю $d$. Синус угла между ними:
   $$\sin \alpha =\frac{b}{d}=\mathrm{0,6}$$
   где $b$ — сторона, противолежащая углу $\alpha$.
4. Находим сторону $b$:
   $$b=d·\sin \alpha =10·\mathrm{0,6}=6$$
5. По теореме Пифагора:
   $$a=\sqrt{{10}^2-6^2}$$
   $$a=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$
6. Площадь прямоугольника:
   $$S=a·b=8·6=48$$

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{24}{2}=12$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=\mathrm{4/3}$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=12·\mathrm{4/3}=16$$
4. По теореме Пифагора находим сторону ромба $\mathrm{BC}$:
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{OC}}^2}=\sqrt{{16}^2+{12}^2}$$
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=20$$
5. Площадь ромба можно найти двумя способами:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
   где $\mathrm{BD}$ = 2 BO = 32.
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{24·32}{2}=\frac{1200}{2}=384$$
7. С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту:
   $$S=a·h$$
   где $a=20$ — сторона ромба, $h$ — высота.
8. Находим высоту:
   $$h=\frac{S}{a}=\frac{384}{20}=19.2$$
9. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты:
   $$r=\frac{h}{2}=\frac{19.2}{2}=9.6$$

Ответ: