17 задание ОГЭ по математике

Решение:

1. В ромбе диагональ является биссектрисой угла.
   $$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{DBC}$$
2. Меньшая диагональ $\mathrm{BD}$ соединяет вершины с тупыми углами $B$ и $D$.
3. Рассмотрим угол между стороной $\mathrm{AB}$ и меньшей диагональю $\mathrm{BD}$. Это угол $\angle \mathrm{ABD}$.
4. Так как диагональ $\mathrm{BD}$ является биссектрисой угла $\angle \mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{\angle }{\mathrm{ABC}}$$
5. Острый угол ромба $\angle \mathrm{ABC}$ равен 70°:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{}{}$$70° 2 = 35°

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $\mathrm{ABCD}$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны:
   $$\mathrm{AC}⟂\mathrm{BD}$$
2. Из точки $O$ проведём перпендикуляр $\mathrm{OK}$ к стороне $\mathrm{AB}$:
   $$\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$$
3. По условию угол между $\mathrm{OK}$ и диагональю $\mathrm{AC}$ равен 28°:
   $$\angle \mathrm{KOC}=28°$$
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{OKC}$. В нём $\angle \mathrm{OKC}=90°$, так как $\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$, а $\mathrm{KC}$ лежит на стороне $\mathrm{AB}$.
5. Тогда в прямоугольном треугольнике $\mathrm{OKC}$:
   $$\angle \mathrm{OCK}=90°-\angle \mathrm{KOC}=90°-28°=62°$$
6. Угол $\angle \mathrm{OCK}$ — это угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и стороной $\mathrm{AB}$ (так как $K$ лежит на $\mathrm{AB}$).
7. В ромбе диагональ $\mathrm{AC}$ является биссектрисой угла $\angle A$. Следовательно, угол между диагональю и стороной равен половине угла ромба:
   $$\angle \mathrm{OAB}=\frac{\mathrm{\angle A}}{2}$$
8. Но $\angle \mathrm{OAB}$ — это тот же угол, что и $\angle \mathrm{OCK}$ (соответственные углы при параллельных прямых $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$):
   $$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCK}=62°$$
9. Находим углы ромба:
   $\angle A=2·62°=124°$
   $\angle B=180°-124°=56°$

Ответ:

Приступим к решению:

1. Найдём острый угол ромба:
   $$180°-152°=28°$$
2. Угол между стороной и большой диагональю (на рис. y) равен половине острого угла:
   $$y=28°:2=14°$$
3. Искомый угол x (между высотой и диагональю) дополняет угол y до 90° в прямоугольном треугольнике:
   $$x=90°-y=90°-14°=76°$$

Ответ: 76°

Приступим к решению:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{60}{2}=30$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=0.4$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=30·0.4=12$$
4. Вторая диагональ $\mathrm{BD}$:
   $$\mathrm{BD}=2\mathrm{BO}=2·12=24$$
5. Площадь ромба через диагонали:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{60·24}{2}=\frac{1440}{2}=720$$

Ответ:

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=67°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-67°=113°$$
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{BAC}=26°$$
   $$\angle \mathrm{ABC}=\angle B=113°$$
3. Находим угол $\angle \mathrm{BCA}$ в треугольнике $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-\angle \mathrm{BAC}-\angle \mathrm{ABC}$$
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-26°-113°=41°$$
4. Угол $\angle \mathrm{BCA}$ — это и есть искомый угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и меньшим основанием $\mathrm{BC}$.

Ответ:

1. Найдём проекцию боковой стороны (отрезок AH):
   $$\mathrm{AH}=\frac{-}{2}=$$
2. В прямоугольном треугольнике AHC:
   $$h=\mathrm{AH}\cdot \mathrm{tg}(45°)$$
3. Подставляем значения:
   $$h=\cdot =\mathrm{}$$

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=62°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-62°=118°$$
2. $\mathrm{AC}$ — биссектриса $\angle \mathrm{BAD}$, значит:
   $$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\frac{\angle A}{2}=\frac{62°}{2}=31°$$
3. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ACD}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{CAD}=31°$$
   $$\angle \mathrm{ADC}=\angle D=62°$$
4. Находим угол $\angle \mathrm{ACD}$ в треугольнике $\mathrm{ACD}$:
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-\angle \mathrm{CAD}-\angle \mathrm{ADC}$$
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-31°-62°=87°$$

Ответ: