Корни в ОГЭ по математике

1. Задачи на корни из ОГЭ по математике с применением формул сокращенного умножения

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Применение формул сокращённого умножения (Алгебраические выражения) 7 класс

Для выполнения заданий на корни важно понимать правила работы с квадратными и кубическими корнями - все свойства расписали в тренажёре, в нем вы сможете попрактиковаться в вычислении и упрощении выражений с корнями, которые служат прототипами для 8 задания в ОГЭ по математике

Найдите значение выражения:

$(\sqrt{5} - \sqrt{15})^{2} + (\sqrt{5} + \sqrt{15})^{2}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Для решения данного выражения нам понадобится формула квадрата суммы и квадрата разности, чтобы раскрыть скобки и преобразовать выражения:

(\sqrt{5} - \sqrt{15})^{2} + (\sqrt{5} + \sqrt{15})^{2} = {\sqrt{5}}^{2} - 2 \sqrt{5 \cdot 15} + {\sqrt{15}}^{2} + {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5 \cdot 15} + {\sqrt{15}}^{2}

5 + 15 + 5 + 15 = 40

2. Задачи на свойства дробных степеней

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Квадратные корни могут не только встречаться вместе с формулами сокращенного умножения, но и как дробная степень. При вычислении и преобразовании таких примеров, нужно помнить, что квадратный корень это та же самая степень. Решите задания с дробными степенями, чтобы лучше подготовиться к экзамену

Найдите значение выражения:

$\sqrt{d^{-5} \cdot d^{7}}$ , при $d = 3$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Воспользуемся свойствами степеней, чтобы преобразовать данное выражение. Повторить их вы можете в справочнике по свойствам степеней. В данном случае происходит умножение выражений, значит степени будут складываться.

\sqrt{d^{-5} \cdot d^{7}} = \sqrt{d^{-5 + 7}} = \sqrt{d^{2}}

Затем вынесем полученное выражение из-под знака квадратного корня, не забывая поделить степень на 2.

\sqrt{d^{2}} = d^{\frac{2}{2}} = d^{1} = 3

3. Рационализация выражений и домножение на сопряженные

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Применение формул сокращённого умножения (Алгебраические выражения) 7 класс

Задачи с корнями и формулой разности квадратов - прекрасный пример 8го задания из ОГЭ по математике. Данный вид задач является основой по вычислению дробей с домножением на сопряженные знаменатели. В ходе решения задач

Решите пример:

$\frac{1}{\sqrt{15} - 1} - \frac{1}{\sqrt{15} + 1}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Для того найти значение данного выражение необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю путем домножения первой дроби на знаменатель второй дроби и второй дроби на знаменатель первой дроби.

Тогда получим следующее выражение:

\frac{\sqrt{15} + 1 - (\sqrt{15} - 1)}{(\sqrt{15} - 1) (\sqrt{15} + 1)} =

= \frac{\sqrt{15} + 1 - \sqrt{15} + 1}{{\sqrt{15}}_{}^{2} - 1^{2}} =

= \frac{2}{15 - 1^{2}} = \frac{2}{14} = 0.14

4. Формула сокращенного умножения под корнем

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Применение формул сокращённого умножения (Алгебраические выражения) 7 класс

Усложнённый формат заданий с использованием формулы сокращенного умножения под знаком арифметического корня. Нужно отметить, что и компоненты формулы в данном случае тоже подкоренные выражения. Данный тип задач чаще всего вызывает затруднения у сдающих ОГЭ по математике и отработать решение подобного формата задач вы можете в тренажёре. Так же в каждом задании вы найдете доступное решение с пошаговым объяснением

Найдите значение выражения:

(\sqrt{(23 - \sqrt{520})} - \sqrt{(23 + \sqrt{520})}) \sqrt{13}

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Для того чтобы вынести из-под квадратного корня какое-либо выражение, необходимо сначала преобразовать его либо к квадрату суммы: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , либо к квадрату разности: $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .
Рассмотрим для примера первое подкоренное выражение $23 - \sqrt{520}$ .
Чтобы понять, квадрат суммы или квадрат разности мы должны обратить внимание на знак между слагаемыми, в нашем случае это «-», следовательно, перед нами квадрат разности. Можно заметить, что в данном случае a и b будут выражены через корни и тогда $a^{2} + b^{2} = 23$ , а $2 a b = \sqrt{520}$
Таким образом, можно определить, что: $a = \sqrt{10}$ , $b = \sqrt{13}$

(\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{13})^{2}} + \sqrt{(\sqrt{10} + \sqrt{13})^{2}}) \sqrt{13} =

(| \sqrt{10} - \sqrt{13} | + | \sqrt{10} + \sqrt{13} |) \sqrt{13} =

2 \sqrt{10} * \sqrt{13} = 26

5. Квадрат суммы/разности с арифметическим корнем

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Применение формул сокращённого умножения (Алгебраические выражения) 7 класс

Один из видов 8 задания на раскрытие скобок по формуле квадрата суммы или квадрата разности для отработки формул и правил сложения и вычитания подобных слагаемых с арифметическими корнями

Найдите значение выражения

${(\sqrt{12} - 2)}^{2} + 4 \sqrt{12}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Обратим внимание, что подкоренное выражение можно преобразовать по формуле квадрата разности

Формула полного квадрата:

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}

Раскроем скобки по формуле квадрата разности, где: a = √12, b = 2

{(\sqrt{12} - 2)}^{2} = {(\sqrt{12})}^{2} - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 2 + 2^{2}

{(\sqrt{12})}^{2} - 2 \cdot \sqrt{12} \cdot 3 + 2^{2} = 12 - 4 \sqrt{12} + 4

Теперь упростим полученное выражение

12 - 4 \sqrt{12} + 4 = 16 - 4 \sqrt{12}

Теперь выполним последнее действие и получим ответ:

16 - 4 \sqrt{12} + 4 \sqrt{12} = 16 + (4 \sqrt{12} - 4 \sqrt{12}) = 16

6. Тренажёр на выделение квадрата суммы/разности

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Решение задач в этом тренажёре поможет научиться определять полный квадрат в квадратном трехчлене, что очень пригодится на ОГЭ по математике

Найдите значение выражения

$\sqrt{4 b^{2} - 12 bd + 9 d^{2}}$ , при $a = 3$ , $b = -2$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Чтобы найти значение данного выражения, воспользуемся методом выделения полного квадрата.

Обратим внимание, что подкоренное выражение можно преобразовать по формуле квадрата разности

Формула полного квадрата:

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}

Если мы проведём аналогию между формулой квадрата разности и подкоренным выражением, то увидим, что

a^{2} = 4 b^{2}

2 ab = 12 bd

b^{2} = 9 d^{2}

Тогда a=2b, b= 3d. И теперь, зная значения выражений мы можем свернуть подкоренное выражение по формуле квадрата разности и получим:

\sqrt{{(2 b - 3 d)}^{2}} = 2 b - 3 d

Преобразовав выражение можно подставить значения c=3 и d=-2

2 \cdot 3 - 3 \cdot -2 = 12

7. Тренажёр на объединение корней

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Вид 8 задач из ОГЭ на использование свойств арифметических корней и объединения числителя и знаменателя под общий знак квадратного корня

Найдите значение выражения

$\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{81}}{\sqrt{2}}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Чтобы решить это выражение, воспользуемся свойством корней и объединим всё под один корень

\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{81}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{18 \cdot 81}}{\sqrt{2}}

= \sqrt{\frac{18 \cdot 81}{2}}

= \sqrt{\frac{18}{2} \cdot 81}

= \sqrt{9 \cdot 81}

= \sqrt{729} = 27

8. Примеры на раскрытие скобок с корнями

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Алгебраические выражения на раскрытие скобок с квадратными корнями по методу фонтанчика и дальнейшее преобразование с умножением квадратных корней

Найдите значение выражения

$(\sqrt{80} - \sqrt{180}) \cdot \sqrt{5}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Чтобы решить этот пример, сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим на множители подкоренные выражения и вынесем полные квадратные из-под знака корня.

\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}

Теперь упростим второе слагаемое:

\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}

Подставим теперь полученные преобразованные корни в исходные выражение:

4 \sqrt{5} - 6 \sqrt{5} = -2 \sqrt{5}

И теперь умножим на √5

-2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = -2 \cdot \sqrt{5 \cdot 5} = -2 \cdot 5 = -10

9. Тренажёр на возведение корня и множителя в квадрат

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени (Алгебраические выражения)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Степень с целым отрицательным показателем (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства степени с целым показателем (Алгебраические выражения) 8 класс

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Один из классических примеров из задания на алгебраические выражения в ОГЭ по математике, который проверяет навыки работы со степенями и корнями.

Найдите значение выражения

$\frac{4800}{{(10 \sqrt{6})}^{2}}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Чтобы решить этот пример, сначала преобразуем знаменатель

{(10 \sqrt{6})}^{2} = 10^{2} \cdot {(\sqrt{6})}^{2} = 100 \cdot 6 = 600

Подставим результат в дробь:

\frac{4800}{{(10 \sqrt{6})}^{2}} = \frac{4800}{600}

Теперь сократим дробь на 6 и 100:

\frac{4800}{600} = -12

10. Задания на вычисления корня из степени

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени (Алгебраические выражения)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Свойства степени с целым показателем (Алгебраические выражения) 8 класс

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Направлено на проверку свойства арифметического корня и вынесения четной степени числа из-под знака корня

Найдите значение выражения

$\sqrt{3^{8}}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

По свойству корней представим квадратный корень как степень 1/2:

\sqrt{3^{8}} = {(3^{8})}^{\frac{1}{2}}

Теперь получается, что степень возводится в степень, значит необходимо умножить показатели степени по свойству степеней:

{(3^{8})}^{\frac{1}{2}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{2}} = 3^{4} = 81

11. Тренажёр на объединение под один корень

8 задание в ОГЭ

Темы задачи

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Числа и вычисления)

Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени (Алгебраические выражения)

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень (Алгебраические выражения) 8 класс

Свойства арифметического квадратного корня (Алгебраические выражения) 8 класс

Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни (Алгебраические выражения) 8 класс

Прототип 8 задания, в котором нужно объединить корни под один и разложить числа на множители

Найдите значение выражения

$\sqrt{8 \cdot 1024} \cdot \sqrt{32}$

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

Для начала объединим всё под один корень

\sqrt{8 \cdot 1024} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{8 \cdot 1024 \cdot 32}

Теперь разложим числа на простые множители:

\sqrt{8 \cdot 1024 \cdot 32} = \sqrt{8 \cdot (4 \cdot 16^{2}) \cdot (4 \cdot 8)}

Теперь можно извлечь корень из полных квадратов и получить выражение без арифметического корня

= \sqrt{8^{2}} \cdot \sqrt{4^{2}} \cdot \sqrt{16^{2}} = 8 \cdot 4 \cdot 16 = 512

12. Сокращение выражения под корнем