Варианты ОГЭ по математике

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Посчитаем их количество:
   Благоприятных исходов (точек): 3
   Всего исходов: 11
3. Сложим их и поделим на общее количество (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   3 / 11 = 0,27
4. Ответ: 0.27

Способ 1 (через равнобедренные треугольники):

1. Обозначим $\angle \mathrm{ABM}$ = β и $\angle \mathrm{MBC}$ = γ.
2. В равнобедренном $△\mathrm{ABM}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{AM}$): $\angle \mathrm{BAM}$ = β.
3. В равнобедренном $△\mathrm{MBC}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{MC}$): $\angle \mathrm{BCM}$ = γ.
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
   где $\angle A$ = β, $\angle B$ = β + γ, $\angle C$ = 55°.
5. Подставляем:
   $$\beta +(\beta +\gamma )+55°=180°$$
   $$2\beta +\gamma =125°$$
6. Рассмотрим треугольник $\mathrm{BMC}$: $\angle \mathrm{MBC}$ = γ, $\angle \mathrm{BCM}$ = γ, $\angle \mathrm{BMC}$ = 180° - 2γ.
7. Рассмотрим треугольник $\mathrm{AMB}$: $\angle \mathrm{ABM}$ = β, $\angle \mathrm{BAM}$ = β, $\angle \mathrm{AMB}$ = 180° - 2β.
8. Углы $\angle \mathrm{AMB}$ и $\angle \mathrm{BMC}$ — смежные:
   $$(180°-2\beta )+(180°-2\gamma )=180°$$
   $$360°-2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
9. Имеем систему:
   $$2\beta +\gamma =125°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
10. Вычитаем второе из первого:
    $$\beta =35°$$
11. Угол $A$ равен $\beta$:
    $$\angle A=35°$$

Способ 2 (через свойство медианы):

1. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ медиана $\mathrm{BM}$ равна половине стороны $\mathrm{AC}$, к которой она проведена:
   $$\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$$
2. Важное свойство: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, причём прямым является угол, противолежащий этой стороне.
   $$\angle \mathrm{ABC}=90°$$
3. Докажем это свойство. В нашем случае точка $M$ — середина гипотенузы $\mathrm{AC}$ прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому $\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=R$.
4. Итак, $\angle \mathrm{ABC}$ = 90°.
5. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ сумма углов равна 180°:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
6. Подставляем известные значения:
   $$\angle A+90°+55°=180°$$
7. Находим угол A:
   $$\angle A=180°-90°-55°=35°$$

Решение:

1. Используем формулу:
   (x + y)² = x² + y² + 2xy
   (x + y)² = 20 + 2·(-8) = 20 - 16 = 4
   x + y = ±√4 = 2 или -2
2. Используем формулу:
   (x - y)² = x² + y² - 2xy
   (x - y)² = 20 - 2·(-8) = 20 + 16 = 36
   x - y = ±√36 = 6 или -6
3. Получаем четыре комбинации (системы линейных уравнений):
   1) x + y = 2, x - y = 6
   2) x + y = 2, x - y = -6
   3) x + y = -2, x - y = 6
   4) x + y = -2, x - y = -6
4. Решаем каждую систему:
   1) Складываем: 2x = 2 + 6 = 8 → x = 4
   y = (x + y) - x = 2 - 4 = -2
   2) Складываем: 2x = 2 + (-6) = -4 → x = -2
   y = (x + y) - x = 2 - (-2) = 4
   3) Складываем: 2x = -2 + 6 = 4 → x = 2
   y = (x + y) - x = -2 - 2 = -4
   4) Складываем: 2x = -2 + (-6) = -8 → x = -4
   y = (x + y) - x = -2 - (-4) = 2
5. Получаем четыре пары:
   (x, y) = (4; -2), (-2; 4), (2; -4), (-4; 2)

   Заметим, что это по сути две пары чисел, взятые в разном порядке: (4; -2) и (-2; 4) с противоположными знаками.

6. Проверяем условие xy = -8:
   4·(-2) = -8, (-2)·4 = -8, 2·(-4) = -8, (-4)·2 = -8 — всё верно.
7. Записываем ответ:
   (x, y) = (4; -2), (-2; 4), (2; -4), (-4; 2)

   или в виде: (4;-2); (-2;4); (2;-4); (-4;2)