Тренажёр с системами линейных уравнений 7 класс с ответами и решениями

Системы линейных уравнений проходятся в 7 классе как часть школьной программы по алгебре. Этот раздел помогает развить навыки работы с уравнениями, учит анализировать зависимости между переменными и находить их значения. Вы так же можете пропустить теорию по системам линейных уравнений и перейти сразу к тренажёру

Что такое системы линейных уравнений?

Это два (или больше) уравнения, в которых есть одни и те же переменные (обычно x и y). На данной странице представлены теория и тренажёр с подробными решениями по системам линейных уравнений, состоящих из двух уравнений, однако системы с большим количеством уравнений решаются аналогичным способом. Например, системы могут выглядеть следующим образом:

{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

Здесь у нас два уравнения с переменными x и y. И наша задача - решить их, то есть найти такие числа x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям сразу.

Задания с системами уравнений начинают проходить по школьной программе в 7 классе и затем они встречаются на протяжении всей оставшейся школьной программы. Задания на системы из нескольких уравнений могут попадаться и во второй части ОГЭ по математике и в ЕГЭ по математике. Так же на ЕГЭ по физике вы сможете часто встретить задачи, которые будут решаться именно системами уравнений. На данной странице мы разберём системы самых простых - линейных уравнений.

Устали от рекламы? Отключите её раз и навсегда единоразовой покупкой.

🚫 Отключить рекламу

Как решать системы линейных уравнений с несколькими переменными

Есть два основных и ещё один дополнительный способ, которые чаще всего используются при решении систем уравнений в школьной программе:

Метод подстановки - выражаем одну переменную из первого уравнения, подставляем во второе и получаем уравнение с одной переменной
Метод сложения/вычитания - нужно сложить два уравнения таким образом, чтобы получилось уравнение с одной переменной
Графический метод решения - графически изображаем оба уравнения и находим точки пересечения, они и будут ответами на систему. Этот метод не очень популярен и используется в основном в сложных задачах, когда выражать переменную или складывать уравнения слишком сложно

Способы решения систем линейных уравнений

Разберем основные методы решения систем линейных уравнений на примерах.

Решение неравенств методом подстановки

Рассмотрим пример самого популярного способа решения систем - способа подстановки.

Дана следующая система:

{\begin{cases} y = 5 - x \\ 2 x + y = 11 \end{cases}

Из первого уравнения уже выражено y. Подставляем во второе:

2 x + (5 - x) = 11

Упрощаем:

x + 5 = 11

И решаем обыкновенное линейное уравнение:

x = 6

Теперь подставляем x = 6 в первое уравнение, чтобы найти y:

y = 5 - 6 = - 1

Ответ:

x = 6, y = - 1

В конце, не забывайте, что ответом на систему уравнений всегда будет пара чисел, x и y

Решение неравенств методом сложения

Это наверное один из самых удобных способов решения уравнений, которые объеденины в системы, особенно, когда коэффициенты в этих выражениях позволяют запросто избавиться от одной из переменных.

Разберем этот метод по шагам:

Шаг 1. Складываем или вычитаем уравнения так, чтобы одна переменная исчезла. Иногда может потребоваться домножить
Шаг 2. Находим оставшуюся переменную.
Шаг 3. Подставляем её в любое уравнение и находим вторую переменную.

Решим систему методом сложения:

{\begin{cases} 3 x + 2 y = 12 \\ 3 x - y = 3 \end{cases}

1. Обратим внимание, что коэффициенты при x в первом и втором уравнении совпадают, значит эта система идеально подходит под метод вычитания. Тогда вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить x:

(3 x + 2 y) - (3 x - y) = 12 - 3

Упрощаем и решаем полученное уравнение:

3 y = 9

y = 3

2. Теперь подставим y = 3 во второе уравнение и найдём x(выбрать для подстановки можно любое уравнение):

3 x - 3 = 3

Решаем полученное уравнение относительно x:

3 x = 6

x = 2

Теперь можем записать ответ:

x = 2, y = 3

Подобным образом можно решать системы уравнений не только с одинаковыми коэффициентами, но и с разными, однако тогда понадобится домножать одно из уравнений на число, чтобы получить одинаковые коэффициенты при одной из переменных, x или y, чтобы они сократились при сложении или вычитании.

Разные уровни сложности тренажёра

Попробуйте решить системы уравнений разных уровней сложности и отработать свои знания. Уровни сложности отличаются друг от друга коэффициентами перед буквами в скобках, по умолчанию представлены задания среднего уровня. К каждому из заданий вы найдёте подробное объяснение решения по кнопке "Показать решение" через метод подстановки

Если у вас возникают проблемы при решении легких систем уравнений, рекомендуем начать с линейных уравнений

Тренажёр на cистемы линейных уравнений - алгебра 7 класс

Цель тренажёра - помочь школьникам научиться решать примеры на системы линейных уравнений и научить делать это максимально быстро

Легкие

Средние

Сложные

1. Системы линейных уравнений на метод вычитания

7 класс

Темы задачи

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Системы из двух уравнений, которые решаются вычитанием уравнений, коэффициенты противоположные, но не равные. Поэтому для решения методом вычитания нужно сначала сделать коэффициенты равными по модулю и только затем вычитать

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 3 x + 4 y = 70 \\ 10 x - 8 y = 20 \end{cases}

В ответ введите значение x и y слитно, без разделительных знаков

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

1. Уравняем коэффициенты при y. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ + 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Получаем результат сложения:

(27 x + 3 x) + \underset{⏟}{(21 y + (- 21 y))} = 306 + (-36)

(слагаемые с y дают в сумме 0)

30 x = 270 \Rightarrow x = 9

1. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Вычтем из него второе уравнение (так как коэффициенты при y одинаковы):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ - 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Выполняем вычитание:

(27 x - 3 x) + \underset{⏟}{(21 y - 21 y)} = 306 - -36

24 x = 342 \Rightarrow x = 9

4. Теперь найдем вторую переменную (y). Для этого подставим найденное значение $x = 9$ в первое уравнение системы:

9 \cdot (9) + 7 y = 102

Вычислим произведение и перенесем число в правую часть уравнения с противоположным знаком:

7 y = 102 - 81

7 y = 21 \Rightarrow y = 3

Итоговый ответ:

{\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}

Запишем значения x и y слитно: 93

2. Системы линейных уравнений смешанные

7 класс

Темы задачи

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Задания с системами двух уравнений, которые решаются самыми разными способами, сложением, вычитанием или выражением переменных. Тренажёр идеально подходит для подготовки к контрольным и самостоятельным работам по теме "Системы линейных уравнений с одной переменной"

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 3 x + 4 y = 70 \\ 10 x - 8 y = 20 \end{cases}

В ответ введите значение x и y слитно, без разделительных знаков

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

1. Уравняем коэффициенты при y. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ + 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Получаем результат сложения:

(27 x + 3 x) + \underset{⏟}{(21 y + (- 21 y))} = 306 + (-36)

(слагаемые с y дают в сумме 0)

30 x = 270 \Rightarrow x = 9

1. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Вычтем из него второе уравнение (так как коэффициенты при y одинаковы):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ - 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Выполняем вычитание:

(27 x - 3 x) + \underset{⏟}{(21 y - 21 y)} = 306 - -36

24 x = 342 \Rightarrow x = 9

4. Теперь найдем вторую переменную (y). Для этого подставим найденное значение $x = 9$ в первое уравнение системы:

9 \cdot (9) + 7 y = 102

Вычислим произведение и перенесем число в правую часть уравнения с противоположным знаком:

7 y = 102 - 81

7 y = 21 \Rightarrow y = 3

Итоговый ответ:

{\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}

Запишем значения x и y слитно: 93

3. Системы линейных уравнений на метод сложения

7 класс

Темы задачи

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Системы, для решения которых вам нужно сложить уравнения, чтобы избавиться от одной из переменных и далее решить как обычное уравнение.

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 3 x + 4 y = 70 \\ 10 x - 8 y = 20 \end{cases}

В ответ введите значение x и y слитно, без разделительных знаков

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

1. Уравняем коэффициенты при y. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ + 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Получаем результат сложения:

(27 x + 3 x) + \underset{⏟}{(21 y + (- 21 y))} = 306 + (-36)

(слагаемые с y дают в сумме 0)

30 x = 270 \Rightarrow x = 9

1. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Вычтем из него второе уравнение (так как коэффициенты при y одинаковы):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ - 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Выполняем вычитание:

(27 x - 3 x) + \underset{⏟}{(21 y - 21 y)} = 306 - -36

24 x = 342 \Rightarrow x = 9

4. Теперь найдем вторую переменную (y). Для этого подставим найденное значение $x = 9$ в первое уравнение системы:

9 \cdot (9) + 7 y = 102

Вычислим произведение и перенесем число в правую часть уравнения с противоположным знаком:

7 y = 102 - 81

7 y = 21 \Rightarrow y = 3

Итоговый ответ:

{\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}

Запишем значения x и y слитно: 93

4. Системы линейных уравнений на метод сложения

7 класс

Темы задачи

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Более сложные системы из двух уравнений, которые тоже решаются методом сложения

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 3 x + 4 y = 70 \\ 10 x - 8 y = 20 \end{cases}

В ответ введите значение x и y слитно, без разделительных знаков

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

1. Уравняем коэффициенты при y. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ + 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Получаем результат сложения:

(27 x + 3 x) + \underset{⏟}{(21 y + (- 21 y))} = 306 + (-36)

(слагаемые с y дают в сумме 0)

30 x = 270 \Rightarrow x = 9

1. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Вычтем из него второе уравнение (так как коэффициенты при y одинаковы):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ - 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Выполняем вычитание:

(27 x - 3 x) + \underset{⏟}{(21 y - 21 y)} = 306 - -36

24 x = 342 \Rightarrow x = 9

4. Теперь найдем вторую переменную (y). Для этого подставим найденное значение $x = 9$ в первое уравнение системы:

9 \cdot (9) + 7 y = 102

Вычислим произведение и перенесем число в правую часть уравнения с противоположным знаком:

7 y = 102 - 81

7 y = 21 \Rightarrow y = 3

Итоговый ответ:

{\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}

Запишем значения x и y слитно: 93

5. Системы линейных уравнений на метод вычитания

7 класс

Темы задачи

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (Уравнения и неравенства) 7 класс

Системы из двух уравнений, которые решаются вычитанием уравнений. В них специально подобраны коэффициенты при переменных, чтобы они сокращались при вычитании уравнений

Решите систему уравнений

{\begin{cases} 3 x + 4 y = 70 \\ 10 x - 8 y = 20 \end{cases}

В ответ введите значение x и y слитно, без разделительных знаков

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ Неправильный ответ

1. Уравняем коэффициенты при y. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Сложим два уравнения почленно (левую часть с левой, правую с правой):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ + 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Получаем результат сложения:

(27 x + 3 x) + \underset{⏟}{(21 y + (- 21 y))} = 306 + (-36)

(слагаемые с y дают в сумме 0)

30 x = 270 \Rightarrow x = 9

1. Домножим первое уравнение на 3:

27 x + 21 y = 306

2. Вычтем из него второе уравнение (так как коэффициенты при y одинаковы):

\begin{array}{r} 27 x + 21 y = 306 \\ - 3 x - 21 y = -36 \end{array}

3. Выполняем вычитание:

(27 x - 3 x) + \underset{⏟}{(21 y - 21 y)} = 306 - -36

24 x = 342 \Rightarrow x = 9

4. Теперь найдем вторую переменную (y). Для этого подставим найденное значение $x = 9$ в первое уравнение системы:

9 \cdot (9) + 7 y = 102

Вычислим произведение и перенесем число в правую часть уравнения с противоположным знаком:

7 y = 102 - 81

7 y = 21 \Rightarrow y = 3

Итоговый ответ:

{\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}

Запишем значения x и y слитно: 93

Задачи на системы линейных уравнений ⬇️

Задача на фрукты

В магазине купили 5 кг яблок и апельсинов. Яблоки стоят 60 руб./кг, апельсины - 80 руб./кг. Вся покупка стоила 340 рублей. Сколько купили яблок и сколько апельсинов?

Задача о возрасте

Мама старше дочери на 24 года. Через 5 лет мама будет старше дочери в 3 раза. Сколько лет маме и дочери сейчас?

Задача о движении

Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B. Скорость первого - 15 км/ч, второго - 20 км/ч. Через 2 часа расстояние между ними стало 30 км. Каково расстояние между A и B?

Задача о деньгах

У Пети и Васи вместе 1200 рублей. Если Петя отдаст Васе 1/3 своих денег, то у них станет поровну. Сколько денег у каждого?

Задача о работе

Две бригады работали на стройке. Первая бригада работала 5 дней, вторая - 3 дня, и вместе они выполнили 4/5 работы. Затем первая бригада работала 3 дня, вторая - 6 дней, и они закончили работу. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить всю работу одна?

Советы для успешного решения:

Не торопитесь. Сначала выберите подходящий метод решения и переменную, которую удобнее выражать
Следите за знаками. Ошибки в знаках — самая частая проблема при решении систем
Проверяйте подобные члены. После раскрытия скобок всегда упрощайте выражение, складывая подобные.

Где в жизни используются системы уравнений?

📚 Физика (ОГЭ/ЕГЭ) - решение задач механики во второй части экзаменов: расчёт движения тел, сил трения, работы и энергии
🌐 Экономика - оптимизация инвестиционных портфелей и расчёт точки безубыточности бизнеса
🏭 Промышленность - расчёт компонентов смесей и оптимизация логистических схем
🏙 Градостроительство - моделирование транспортных потоков и расчёт нагрузок на инфраструктуру
🌡 Научные исследования - балансировка химических реакций и расчёт траекторий космических аппаратов
💻 IT-технологии - обучение нейросетей и оптимизация алгоритмов
🏥 Медицина - расчёт дозировок лекарств и моделирование эпидемий
🌾 Сельское хозяйство - оптимизация состава удобрений и расчёт кормовых рационов
🚀 Авиакосмическая отрасль - расчёт топливных смесей и траекторий полётов
🏗 Строительство - расчёт прочности конструкций и оптимальных пропорций строительных смесей

Самостоятельная работа по системам линейных неравенств

Создайте персональный печатный вариант с заданиями на системы линейных уравнений для 7 класса. Вы можете сами настроить формат задач на листочке и количество заданий.

Просто нажмите на кнопку, выберите уровень сложности, укажите количество задач и отметьте нужные типы упражнений - печатный тренажёр сформируется автоматически.

Платформа ФизМат Скул автоматически сгенерирует подборку заданий в формате PDF, который вы сможете распечатать и использовать для подготовки к экзаменам абсолютно бесплатно.

📚 Готовые для печати тренажёры по системам линейных уравнений

Распечатайте готовый вариант тренажёров составленных для самостоятельных работ в 7 классе и решайте даже без интернета. Ответы в конце

Системы линейных уравнений в 7 классе

Что такое системы линейных уравнений?

Как решать системы линейных уравнений с несколькими переменными

Решение неравенств методом подстановки

Решение неравенств методом сложения

Разные уровни сложности тренажёра

Тренажёр на cистемы линейных уравнений - алгебра 7 класс

1. Системы линейных уравнений на метод вычитания

2. Системы линейных уравнений смешанные

3. Системы линейных уравнений на метод сложения

4. Системы линейных уравнений на метод сложения

5. Системы линейных уравнений на метод вычитания

Задачи на системы линейных уравнений ⬇️

Советы для успешного решения:

Где в жизни используются системы уравнений?

Самостоятельная работа по системам линейных неравенств

📚 Готовые для печати тренажёры по системам линейных уравнений

Создать рабочий листок

Сложность заданий

Количество заданий

Выберите задания для печати

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки