Стандартный вид числа - объяснение и тренажёр. 8 класс

На странице разберем тему 7 класса - числа в стандартной форме и операции с ними. Сначала рассмотрим теорию, а затем предлагаем вам отработать действия на тренажёрах

Что такое стандартный вид числа?

Стандартный вид числа — это запись числа в виде:

a \cdot 10^{n}

где 1 ≤ a < 10 (a — десятичное число от 1 до 9,999...), которое называется мантисса, а n — целое число (показатель степени).

Примеры: 3000 = 3·10³, 0,005 = 5·10⁻³, 67,8 = 6,78·10¹

Где применяется стандартный вид числа?

В физике для записи очень больших (расстояния в космосе) и очень малых (размеры атомов) величин
В 6 задании ОГЭ по математике
В вычислениях с очень большими числами в программировании и инженерии
В научных публикациях для компактной записи данных

Как привести число к стандартному виду?

Алгоритм для больших чисел (> 10):

Перенесите запятую влево так, чтобы перед ней оказалась одна цифра (от 1 до 9)
Посчитайте, на сколько позиций перенесли запятую — это будет положительный показатель степени n
Запишите число в виде a·10ⁿ

Пример: 45200 = 4,52·10⁴ (запятую перенесли на 4 позиции влево)

Алгоритм для маленьких чисел (0 < число < 1):

Перенесите запятую вправо так, чтобы перед ней оказалась одна цифра (от 1 до 9)
Посчитайте, на сколько позиций перенесли запятую — это будет отрицательный показатель степени -n
Запишите число в виде a·10⁻ⁿ

Пример: 0,00367 = 3,67·10⁻³ (запятую перенесли на 3 позиции вправо)

Действия с числами в стандартном виде

Умножение:

(a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{n}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m + n}

Деление:

\frac{a \cdot 10^{m}}{b \cdot 10^{n}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m - n}

Возведение в степень:

(a \cdot 10^{n})^{k} = a^{k} \cdot 10^{n \cdot k}

Важно! После выполнения действий результат часто нужно снова привести к стандартному виду (если a получилось меньше 1 или больше либо равно 10).

Примеры с числами в стандартной форме

Генератор примеров позволит отработать правильное раскрытие скобок в случае возведения в степень произведения, а так же сокращению степенных выражений. Подобные примеры являются одним из прототипов шестого задания в ОГЭ по математике

Для каждого примера вы найдете пошаговое объяснение каждого действия в конкретном примере с дробями и возможность проверить ответ.

Легкие

Средние

Сложные

Вычисления с числами в стандартной форме

Темы задачи

Представьте число в стандартном виде

$142000000$

Введите ответ, например

2,1 \cdot 10^{4}

запишем как 2,1*10^4

Верно Неверно

Чтобы представить число в стандартном виде $a \cdot 10^{n}$ , где 1 ≤ a < 10, нужно перенести запятую так, чтобы перед ней осталась одна цифра. Для наглядности давайте поставим запятую после числа и посчитаем сколько раз её нужно подвинуть, чтобы получить 1,43.

Визуально это делается так:

Поставим запятую после нулей синим цветом

Если мы двигаем запятую влево - степень 10 будет положительной, если вправо - отрицательной. Количество стрелочек равняется степени десятки

142000000 = 1,42 \cdot 10^{8}

Получается её нужно перенести 7 раз

В ответ запишем:

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Сравнение чисел в стандартном виде

Темы задачи

Из чисел выберите наибольшее

1. $1,077 \cdot 10^{6}$

2. $1,49 \cdot 10^{6}$

3. $2,348 \cdot 10^{5}$

4. $9,996 \cdot 10^{5}$

Выберите вариант ответа или введите номер (1-4)

Верно Неверно

Чтобы сравнить числа в стандартном виде a·10ⁿ, сначала сравниваем порядки (показатели степени n), а если они равны — сравниваем мантиссы a.

№	Число	Порядок (n)	Мантисса (a)
1	$1,077 \cdot 10^{6}$	6	1,077
2	$1,49 \cdot 10^{6}$	6	1,49
3	$2,348 \cdot 10^{5}$	5	2,348
4	$9,996 \cdot 10^{5}$	5	9,996

Начнём с того, что сравним порядки(степени 10)

Сравниваем порядки (показатели степени):
6, 6, 5, 5

Наибольший порядок: 6

Числа с наибольшим порядком 6:
№1: 1,077 · 10⁶
№2: 1,49 · 10⁶

Сравниваем мантиссы

Сравниваем мантиссы (при одинаковом порядке):
1,077 и 1,49

1,49 > 1,077

✓

Наибольшее число:

№2: 1,49·10⁶

Ответ: номер 2

Сумма степеней десяти

Темы задачи

Найдите значение выражения

$5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-4}$

Введите ответ (десятичная дробь, например 0,564)

Верно Неверно

Чтобы найти значение выражения, нужно представить каждое слагаемое как десятичную дробь и сложить их.

5 \cdot 10^{-1}

= 0,5

6 \cdot 10^{-2}

= 0,06

4 \cdot 10^{-4}

= 0,0004

Теперь сложим полученные дроби, выравнивая по разрядам:

0,5 + 0,06 + 0,0004 = 0,5604

Ответ: 0,5604

Деление чисел в стандартном виде

Темы задачи

Найдите частное

$\frac{1,8 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-2}}$

Введите ответ (десятичная дробь, например 0,09)

Верно Неверно

Чтобы найти частное, разделим отдельно коэффициенты и отдельно степени десяти.

Делим коэффициенты: 1,8 : 2

= 0,9

Делим степени: 10^-3 : 10^-2 = 10^{-3 - (-2)}

= 10^-1

Теперь перемножим полученные результаты:

0,9 \cdot 10^{-1} = 0,09

Ответ: 0,09

Вычисления с числами в стандартной форме

Темы задачи

Решите пример

$(a \cdot 10^{b})^{c} : (d \cdot 10^{e})$

Введите ответ, при необходимости округлите до сотых

Верно Неверно

Раскроем скобки путем возведения в степень по свойству:

(a b)^{n} = a^{n} b^{n}

(a \cdot 10^{b})^{c} = a^{c} \cdot 10^{b} = a \cdot 10^{b}

Обратите внимание, что возводить 10 в степень bc не нужно, так как оно будет сокращаться с 10 во второй скобке при делении

Поделим ac на d и сократим 10 по свойству: $a^{n} : a^{k} = \frac{a^{n}}{a^{k}} = a^{n - k}$

\frac{a \cdot 10^{bc}}{d \cdot 10^{e}} = \frac{ac \cdot 10^{bc}}{d} = ans

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Попробуйте решить задачи с дробями и степенями

Посмотрите задания, которые помогут выучить математику

Примеры с несколькими действиями

Соберите все возможные действия воедино в примерах

Сложение и вычитание дробей

Тренажёр простейших примеров в одно действие

Тренажёр с десятичными дробями

Примеры на отработку действий с десятичными дробями

Для улучшения работы сайта и персонализации услуг мы используем файлы «cookie». Продолжая использование сайта, вы соглашаетесь с обработкой персональных данных, правилами использования платформы и использованием технологий отслеживания.

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

И получите доступ ко всем возможностям платформы ФизМат Академии

✓

Сохранение ответов

Следите за своим прогрессом в подготовке к экзаменам. Наша система автоматически будет предлагать вам задачи по вашему уровню подготовки

✓

Добавление формул в избранное

Сохраняйте задания, формулы и теоремы для быстрого повторения - мы подскажем, что нужно повторять и предложим похожие задания

📚

Полный доступ к базе задач

Более 5000 видов заданий по физике и математике с автоматической проверкой и подробными решениями для подготовки по всем темам школьной программы

🎯

Подборка задач по всем формулам и темам

Применяйте знания на практике - мы подскажем как и на чем отработать теоретические знания и формулы

🔍

Задачи с полноценными решениями

Каждая задача уникальна и имеет подробное пошаговое решение - чтобы понять основные принципы математики и физики

📅

Персональный план подготовки

Чем больше вы решаете - тем точнее наши подборки, запомним ваши ошибки и предложим их отработать на похожих задачах

Регистрация займет менее 1 минуты