Новые задания ОГЭ по математике 2026 года

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∪ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Запишем их вероятности:
   0,12 + 0,13 + 0,16 + 0,17 + 0,07 + 0,06
3. Сложим эти вероятности (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   0,12 + 0,13 + 0,16 + 0,17 + 0,07 + 0,06 = 0,71
4. Ответ: 0.71

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Запишем их вероятности:
   0,15
3. Сложим эти вероятности (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   0,15 = 0,15
4. Ответ: 0.15

Способ 1: Подсчёт количества (классическая вероятность)

1. Всего карандашей было: 21 (12 жёлтых + 9 зелёных).
2. После того как достали первый зелёный карандаш, в ящике осталось:
   $\text{Всего:}20\text{, из них зелёных:}8$
3. Теперь достаём второй карандаш. Всех равновозможных исходов — 20, благоприятных (зелёный) — 8.
4. Искомая вероятность:
   $$P=\frac{8}{20}$$

Решение:

1. Обозначим $\angle \mathrm{KAC}$ = α. Тогда $\angle \mathrm{BAK}$ = α (биссектриса) и $\angle \mathrm{ACK}$ = α (из равнобедренности $△\mathrm{AKC}$).
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. Сумма его углов равна $180°$:
   $$\angle B+\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ACB}=180°$$
   где $\angle \mathrm{BAC}$ = 2α, а $\angle \mathrm{ACB}$ = ∠C = 12°.
3. Подставляем известные значения:
   $$\angle B+2\alpha +$$12° = 180°
4. Из треугольника $\mathrm{AKC}$ выразим $\angle \mathrm{AKC}$. В нём углы: $\angle \mathrm{KAC}$ = α, $\angle \mathrm{ACK}$ = α, значит:
   $$\angle \mathrm{AKC}=180°-2\alpha$$
5. Заметим, что $\angle \mathrm{AKC}$ и $\angle \mathrm{AKB}$ — смежные, поэтому:
   $$\angle \mathrm{AKB}=180°-\angle \mathrm{AKC}=180°-(180°-2\alpha )=2\alpha$$
6. В треугольнике $\mathrm{ABK}$ углы: $\angle \mathrm{BAK}$ = α, $\angle \mathrm{AKB}$ = 2α. Тогда $\angle \mathrm{ABK}$ (он же $\angle B$) равен:
   $$\angle \mathrm{ABK}=180°-\alpha -2\alpha =180°-3\alpha$$
7. Теперь у нас два выражения для $\angle B$:
   $$\angle B=180°-2\alpha -$$12° = 157° - 2α
   и $\angle B$ = 180° - 3α.
8. Приравниваем их:
   $$157°-2\alpha =180°-3\alpha$$
9. Решаем уравнение:
   $$\begin{gathered} 3\alpha -2\alpha =180°-157° \\ \alpha =12° \end{gathered}$$
10. Находим угол $B$:
    $$\angle B=180°-3\alpha =180°-3·$$12° = 180° - 36° = 144°

Способ 1 (через равнобедренные треугольники):

1. Обозначим $\angle \mathrm{ABM}$ = β и $\angle \mathrm{MBC}$ = γ.
2. В равнобедренном $△\mathrm{ABM}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{AM}$): $\angle \mathrm{BAM}$ = β.
3. В равнобедренном $△\mathrm{MBC}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{MC}$): $\angle \mathrm{BCM}$ = γ.
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
   где $\angle A$ = β, $\angle B$ = β + γ, $\angle C$ = 55°.
5. Подставляем:
   $$\beta +(\beta +\gamma )+55°=180°$$
   $$2\beta +\gamma =125°$$
6. Рассмотрим треугольник $\mathrm{BMC}$: $\angle \mathrm{MBC}$ = γ, $\angle \mathrm{BCM}$ = γ, $\angle \mathrm{BMC}$ = 180° - 2γ.
7. Рассмотрим треугольник $\mathrm{AMB}$: $\angle \mathrm{ABM}$ = β, $\angle \mathrm{BAM}$ = β, $\angle \mathrm{AMB}$ = 180° - 2β.
8. Углы $\angle \mathrm{AMB}$ и $\angle \mathrm{BMC}$ — смежные:
   $$(180°-2\beta )+(180°-2\gamma )=180°$$
   $$360°-2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
9. Имеем систему:
   $$2\beta +\gamma =125°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
10. Вычитаем второе из первого:
    $$\beta =35°$$
11. Угол $A$ равен $\beta$:
    $$\angle A=35°$$

Способ 2 (через свойство медианы):

1. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ медиана $\mathrm{BM}$ равна половине стороны $\mathrm{AC}$, к которой она проведена:
   $$\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$$
2. Важное свойство: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, причём прямым является угол, противолежащий этой стороне.
   $$\angle \mathrm{ABC}=90°$$
3. Докажем это свойство. В нашем случае точка $M$ — середина гипотенузы $\mathrm{AC}$ прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому $\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=R$.
4. Итак, $\angle \mathrm{ABC}$ = 90°.
5. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ сумма углов равна 180°:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
6. Подставляем известные значения:
   $$\angle A+90°+55°=180°$$
7. Находим угол A:
   $$\angle A=180°-90°-55°=35°$$

Решение:

1. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, $d$ — его диагональ.
2. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника:
   $$d=10$$
3. Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$ и диагональю $d$. Синус угла между ними:
   $$\sin \alpha =\frac{b}{d}=\mathrm{0,6}$$
   где $b$ — сторона, противолежащая углу $\alpha$.
4. Находим сторону $b$:
   $$b=d·\sin \alpha =10·\mathrm{0,6}=6$$
5. По теореме Пифагора:
   $$a=\sqrt{{10}^2-6^2}$$
   $$a=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$
6. Площадь прямоугольника:
   $$S=a·b=8·6=48$$

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{24}{2}=12$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=\mathrm{4/3}$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=12·\mathrm{4/3}=16$$
4. По теореме Пифагора находим сторону ромба $\mathrm{BC}$:
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{OC}}^2}=\sqrt{{16}^2+{12}^2}$$
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=20$$
5. Площадь ромба можно найти двумя способами:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
   где $\mathrm{BD}$ = 2 BO = 32.
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{24·32}{2}=\frac{1200}{2}=384$$
7. С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту:
   $$S=a·h$$
   где $a=20$ — сторона ромба, $h$ — высота.
8. Находим высоту:
   $$h=\frac{S}{a}=\frac{384}{20}=19.2$$
9. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты:
   $$r=\frac{h}{2}=\frac{19.2}{2}=9.6$$

Ответ:

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Запишем их вероятности:
   0,09
3. Сложим эти вероятности (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   0,09 = 0,09
4. Ответ: 0.09

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Над каждой точкой подписаны её значения. Запишем их значения:
   (8) / 40
3. Сложим все подходящие значения и поделим на сумму всех значений, чтобы найти вероятность (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   (8) / 40 = 0,20
4. Ответ: 0.20

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Посчитаем их количество:
   Благоприятных исходов (точек): 3
   Всего исходов: 11
3. Сложим их и поделим на общее количество (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
   3 / 11 = 0,27
4. Ответ: 0.27

Способ 1: Классическое определение вероятности

1. Найдём количество выпавших решек. Для этого из общего числа бросков (25) вычтем количество орлов (13):
   $$25 − 13 = 12
2. Вероятность того, что на 4-м месте оказалась решка, равна отношению числа решек к общему числу бросков:
   $P=\frac{12}{25}=\mathrm{0,48}$

Решение:

1. Общее число равновозможных событий:
   $$N=15$$
2. Число благоприятствующих событий:
   $$N\left(A\right)=12$$
3. По классической формуле вероятности:
   $$P\left(A\right)=\frac{N\left(A\right)}{N}=\frac{12}{15}$$
4. Сократим дробь на НОД ($3$):
   $$\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$
5. Представим результат в виде десятичной дроби:
   $$\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$$

Решение:

1. В ромбе диагональ является биссектрисой угла.
   $$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{DBC}$$
2. Меньшая диагональ $\mathrm{BD}$ соединяет вершины с тупыми углами $B$ и $D$.
3. Рассмотрим угол между стороной $\mathrm{AB}$ и меньшей диагональю $\mathrm{BD}$. Это угол $\angle \mathrm{ABD}$.
4. Так как диагональ $\mathrm{BD}$ является биссектрисой угла $\angle \mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{\angle }{\mathrm{ABC}}$$
5. Острый угол ромба $\angle \mathrm{ABC}$ равен 70°:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{}{}$$70° 2 = 35°

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $\mathrm{ABCD}$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны:
   $$\mathrm{AC}⟂\mathrm{BD}$$
2. Из точки $O$ проведём перпендикуляр $\mathrm{OK}$ к стороне $\mathrm{AB}$:
   $$\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$$
3. По условию угол между $\mathrm{OK}$ и диагональю $\mathrm{AC}$ равен 28°:
   $$\angle \mathrm{KOC}=28°$$
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{OKC}$. В нём $\angle \mathrm{OKC}=90°$, так как $\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$, а $\mathrm{KC}$ лежит на стороне $\mathrm{AB}$.
5. Тогда в прямоугольном треугольнике $\mathrm{OKC}$:
   $$\angle \mathrm{OCK}=90°-\angle \mathrm{KOC}=90°-28°=62°$$
6. Угол $\angle \mathrm{OCK}$ — это угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и стороной $\mathrm{AB}$ (так как $K$ лежит на $\mathrm{AB}$).
7. В ромбе диагональ $\mathrm{AC}$ является биссектрисой угла $\angle A$. Следовательно, угол между диагональю и стороной равен половине угла ромба:
   $$\angle \mathrm{OAB}=\frac{\mathrm{\angle A}}{2}$$
8. Но $\angle \mathrm{OAB}$ — это тот же угол, что и $\angle \mathrm{OCK}$ (соответственные углы при параллельных прямых $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$):
   $$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCK}=62°$$
9. Находим углы ромба:
   $\angle A=2·62°=124°$
   $\angle B=180°-124°=56°$

Ответ:

Приступим к решению:

1. Найдём острый угол ромба:
   $$180°-152°=28°$$
2. Угол между стороной и большой диагональю (на рис. y) равен половине острого угла:
   $$y=28°:2=14°$$
3. Искомый угол x (между высотой и диагональю) дополняет угол y до 90° в прямоугольном треугольнике:
   $$x=90°-y=90°-14°=76°$$

Ответ: 76°

Приступим к решению:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{60}{2}=30$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=0.4$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=30·0.4=12$$
4. Вторая диагональ $\mathrm{BD}$:
   $$\mathrm{BD}=2\mathrm{BO}=2·12=24$$
5. Площадь ромба через диагонали:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{60·24}{2}=\frac{1440}{2}=720$$

Ответ:

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=67°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-67°=113°$$
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{BAC}=26°$$
   $$\angle \mathrm{ABC}=\angle B=113°$$
3. Находим угол $\angle \mathrm{BCA}$ в треугольнике $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-\angle \mathrm{BAC}-\angle \mathrm{ABC}$$
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-26°-113°=41°$$
4. Угол $\angle \mathrm{BCA}$ — это и есть искомый угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и меньшим основанием $\mathrm{BC}$.

Ответ:

1. Найдём проекцию боковой стороны (отрезок AH):
   $$\mathrm{AH}=\frac{-}{2}=$$
2. В прямоугольном треугольнике AHC:
   $$h=\mathrm{AH}\cdot \mathrm{tg}(45°)$$
3. Подставляем значения:
   $$h=\cdot =\mathrm{}$$

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=62°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-62°=118°$$
2. $\mathrm{AC}$ — биссектриса $\angle \mathrm{BAD}$, значит:
   $$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\frac{\angle A}{2}=\frac{62°}{2}=31°$$
3. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ACD}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{CAD}=31°$$
   $$\angle \mathrm{ADC}=\angle D=62°$$
4. Находим угол $\angle \mathrm{ACD}$ в треугольнике $\mathrm{ACD}$:
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-\angle \mathrm{CAD}-\angle \mathrm{ADC}$$
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-31°-62°=87°$$

Ответ:

Решение:

1. Выделим на диаграмме все точки, принадлежащие A ∩ B.

   Визуально на диаграмме:
2. Посчитаем их количество:
3. Сложим их и поделим на общее количество (события несовместны, так как это разные элементарные исходы):
4. Ответ:

Способ 1: Логическое рассуждение (классическое)

1. У нас есть информация только об общем количестве орлов за все 25 бросков.
2. Эта информация не даёт никаких преимуществ для угадывания конкретного броска — все броски равноправны.
3. Для любого отдельно взятого броска (первого, четвёртого или двадцать пятого) вероятность решки равна:
   $\frac{1}{2}$
4. Ответ: 0,5

Способ 1: Подсчёт количества (классическая вероятность)

1. Всего карандашей было: ( жёлтых + зелёных).
2. После того как достали первый зелёный карандаш, в ящике осталось:
   $\text{Всего:}\mathrm{}\text{, из них зелёных:}\mathrm{}$
3. Теперь достаём второй карандаш. Всех равновозможных исходов — , благоприятных (зелёный) — .
4. Искомая вероятность:
   $$P=\frac{\mathrm{}}{\mathrm{}}$$

Решение:

1. Общее число равновозможных событий:
   $$N=15$$
2. Число благоприятствующих событий:
   $$N\left(A\right)=12$$
3. По классической формуле вероятности:
   $$P\left(A\right)=\frac{N\left(A\right)}{N}=\frac{12}{15}$$
4. Сократим дробь на НОД ($3$):
   $$\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$$
5. Представим результат в виде десятичной дроби:
   $$\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$$

Решение:

1. Обозначим $\angle \mathrm{KAC}$ = α. Тогда $\angle \mathrm{BAK}$ = α (биссектриса) и $\angle \mathrm{ACK}$ = α (из равнобедренности $△\mathrm{AKC}$).
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. Сумма его углов равна $180°$:
   $$\angle B+\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{ACB}=180°$$
   где $\angle \mathrm{BAC}$ = 2α, а $\angle \mathrm{ACB}$ = ∠C = 23°.
3. Подставляем известные значения:
   $$\angle B+2\alpha +$$23° = 180°
4. Из треугольника $\mathrm{AKC}$ выразим $\angle \mathrm{AKC}$. В нём углы: $\angle \mathrm{KAC}$ = α, $\angle \mathrm{ACK}$ = α, значит:
   $$\angle \mathrm{AKC}=180°-2\alpha$$
5. Заметим, что $\angle \mathrm{AKC}$ и $\angle \mathrm{AKB}$ — смежные, поэтому:
   $$\angle \mathrm{AKB}=180°-\angle \mathrm{AKC}=180°-(180°-2\alpha )=2\alpha$$
6. В треугольнике $\mathrm{ABK}$ углы: $\angle \mathrm{BAK}$ = α, $\angle \mathrm{AKB}$ = 2α. Тогда $\angle \mathrm{ABK}$ (он же $\angle B$) равен:
   $$\angle \mathrm{ABK}=180°-\alpha -2\alpha =180°-3\alpha$$
7. Теперь у нас два выражения для $\angle B$:
   $$\angle B=180°-2\alpha -$$23° = 157° - 2α
   и $\angle B$ = 180° - 3α.
8. Приравниваем их:
   $$157°-2\alpha =180°-3\alpha$$
9. Решаем уравнение:
   $$\begin{gathered} 3\alpha -2\alpha =180°-157° \\ \alpha =23° \end{gathered}$$
10. Находим угол $B$:
    $$\angle B=180°-3\alpha =180°-3·$$23° = 180° - 69° = 111°

Способ 1 (через равнобедренные треугольники):

1. Обозначим $\angle \mathrm{ABM}$ = β и $\angle \mathrm{MBC}$ = γ.
2. В равнобедренном $△\mathrm{ABM}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{AM}$): $\angle \mathrm{BAM}$ = β.
3. В равнобедренном $△\mathrm{MBC}$ ($\mathrm{BM}$ = $\mathrm{MC}$): $\angle \mathrm{BCM}$ = γ.
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
   где $\angle A$ = β, $\angle B$ = β + γ, $\angle C$ = 41°.
5. Подставляем:
   $$\beta +(\beta +\gamma )+41°=180°$$
   $$2\beta +\gamma =139°$$
6. Рассмотрим треугольник $\mathrm{BMC}$: $\angle \mathrm{MBC}$ = γ, $\angle \mathrm{BCM}$ = γ, $\angle \mathrm{BMC}$ = 180° - 2γ.
7. Рассмотрим треугольник $\mathrm{AMB}$: $\angle \mathrm{ABM}$ = β, $\angle \mathrm{BAM}$ = β, $\angle \mathrm{AMB}$ = 180° - 2β.
8. Углы $\angle \mathrm{AMB}$ и $\angle \mathrm{BMC}$ — смежные:
   $$(180°-2\beta )+(180°-2\gamma )=180°$$
   $$360°-2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$2(\beta +\gamma )=180°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
9. Имеем систему:
   $$2\beta +\gamma =139°$$
   $$\beta +\gamma =90°$$
10. Вычитаем второе из первого:
    $$\beta =49°$$
11. Угол $A$ равен $\beta$:
    $$\angle A=49°$$

Способ 2 (через свойство медианы):

1. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ медиана $\mathrm{BM}$ равна половине стороны $\mathrm{AC}$, к которой она проведена:
   $$\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=\frac{\mathrm{AC}}{2}$$
2. Важное свойство: Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник — прямоугольный, причём прямым является угол, противолежащий этой стороне.
   $$\angle \mathrm{ABC}=90°$$
3. Докажем это свойство. В нашем случае точка $M$ — середина гипотенузы $\mathrm{AC}$ прямоугольного треугольника. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, поэтому $\mathrm{BM}=\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=R$.
4. Итак, $\angle \mathrm{ABC}$ = 90°.
5. В треугольнике $\mathrm{ABC}$ сумма углов равна 180°:
   $$\angle A+\angle B+\angle C=180°$$
6. Подставляем известные значения:
   $$\angle A+90°+41°=180°$$
7. Находим угол A:
   $$\angle A=180°-90°-41°=49°$$

Решение:

1. Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, $d$ — его диагональ.
2. Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника:
   $$d=10$$
3. Рассмотрим треугольник, образованный стороной $a$ и диагональю $d$. Синус угла между ними:
   $$\sin \alpha =\frac{b}{d}=\mathrm{0,6}$$
   где $b$ — сторона, противолежащая углу $\alpha$.
4. Находим сторону $b$:
   $$b=d·\sin \alpha =10·\mathrm{0,6}=6$$
5. По теореме Пифагора:
   $$a=\sqrt{{10}^2-6^2}$$
   $$a=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$
6. Площадь прямоугольника:
   $$S=a·b=8·6=48$$

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{30}{2}=15$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=\mathrm{4/3}$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=15·\mathrm{4/3}=20$$
4. По теореме Пифагора находим сторону ромба $\mathrm{BC}$:
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{{\mathrm{BO}}^2+{\mathrm{OC}}^2}=\sqrt{{20}^2+{15}^2}$$
   $$\mathrm{BC}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$$
5. Площадь ромба можно найти двумя способами:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
   где $\mathrm{BD}$ = 2 BO = 40.
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{30·40}{2}=\frac{1200}{2}=600$$
7. С другой стороны, площадь ромба равна произведению стороны на высоту:
   $$S=a·h$$
   где $a=25$ — сторона ромба, $h$ — высота.
8. Находим высоту:
   $$h=\frac{S}{a}=\frac{600}{25}=24$$
9. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты:
   $$r=\frac{h}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Ответ:

Решение:

1. В ромбе диагональ является биссектрисой угла.
   $$\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{DBC}$$
2. Меньшая диагональ $\mathrm{BD}$ соединяет вершины с тупыми углами $B$ и $D$.
3. Рассмотрим угол между стороной $\mathrm{AB}$ и меньшей диагональю $\mathrm{BD}$. Это угол $\angle \mathrm{ABD}$.
4. Так как диагональ $\mathrm{BD}$ является биссектрисой угла $\angle \mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{\angle }{\mathrm{ABC}}$$
5. Острый угол ромба $\angle \mathrm{ABC}$ равен 70°:
   $$\angle \mathrm{ABD}=\frac{}{}$$70° 2 = 35°

Ответ:

Решение:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $\mathrm{ABCD}$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны:
   $$\mathrm{AC}⟂\mathrm{BD}$$
2. Из точки $O$ проведём перпендикуляр $\mathrm{OK}$ к стороне $\mathrm{AB}$:
   $$\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$$
3. По условию угол между $\mathrm{OK}$ и диагональю $\mathrm{AC}$ равен 28°:
   $$\angle \mathrm{KOC}=28°$$
4. Рассмотрим треугольник $\mathrm{OKC}$. В нём $\angle \mathrm{OKC}=90°$, так как $\mathrm{OK}⟂\mathrm{AB}$, а $\mathrm{KC}$ лежит на стороне $\mathrm{AB}$.
5. Тогда в прямоугольном треугольнике $\mathrm{OKC}$:
   $$\angle \mathrm{OCK}=90°-\angle \mathrm{KOC}=90°-28°=62°$$
6. Угол $\angle \mathrm{OCK}$ — это угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и стороной $\mathrm{AB}$ (так как $K$ лежит на $\mathrm{AB}$).
7. В ромбе диагональ $\mathrm{AC}$ является биссектрисой угла $\angle A$. Следовательно, угол между диагональю и стороной равен половине угла ромба:
   $$\angle \mathrm{OAB}=\frac{\mathrm{\angle A}}{2}$$
8. Но $\angle \mathrm{OAB}$ — это тот же угол, что и $\angle \mathrm{OCK}$ (соответственные углы при параллельных прямых $\mathrm{AB}$ и $\mathrm{CD}$):
   $$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OCK}=62°$$
9. Находим углы ромба:
   $\angle A=2·62°=124°$
   $\angle B=180°-124°=56°$

Ответ:

Приступим к решению:

1. Найдём острый угол ромба:
   $$180°-152°=28°$$
2. Угол между стороной и большой диагональю (на рис. y) равен половине острого угла:
   $$y=28°:2=14°$$
3. Искомый угол x (между высотой и диагональю) дополняет угол y до 90° в прямоугольном треугольнике:
   $$x=90°-y=90°-14°=76°$$

Ответ: 76°

Приступим к решению:

1. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам:
   $$\mathrm{AO}=\mathrm{OC}=\frac{60}{2}=30$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\mathrm{BOC}$: $\angle \mathrm{BCO}$ = $\angle \mathrm{BCA}$. По условию:
   $$\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OC}}=0.4$$
3. Находим $\mathrm{BO}$:
   $$\mathrm{BO}=\mathrm{OC}·\mathrm{tg}\angle \mathrm{BCO}=30·0.4=12$$
4. Вторая диагональ $\mathrm{BD}$:
   $$\mathrm{BD}=2\mathrm{BO}=2·12=24$$
5. Площадь ромба через диагонали:
   $$S=\frac{\mathrm{AC}·\mathrm{BD}}{2}$$
6. Вычисляем площадь:
   $$S=\frac{60·24}{2}=\frac{1440}{2}=720$$

Ответ:

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=67°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-67°=113°$$
2. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ABC}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{BAC}=26°$$
   $$\angle \mathrm{ABC}=\angle B=113°$$
3. Находим угол $\angle \mathrm{BCA}$ в треугольнике $\mathrm{ABC}$:
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-\angle \mathrm{BAC}-\angle \mathrm{ABC}$$
   $$\angle \mathrm{BCA}=180°-26°-113°=41°$$
4. Угол $\angle \mathrm{BCA}$ — это и есть искомый угол между диагональю $\mathrm{AC}$ и меньшим основанием $\mathrm{BC}$.

Ответ:

1. Найдём проекцию боковой стороны (отрезок AH):
   $$\mathrm{AH}=\frac{-}{2}=$$
2. В прямоугольном треугольнике AHC:
   $$h=\mathrm{AH}\cdot \mathrm{tg}(45°)$$
3. Подставляем значения:
   $$h=\cdot =\mathrm{}$$

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны:
   $$\angle A=\angle D=62°$$
   $$\angle B=\angle C=180°-62°=118°$$
2. $\mathrm{AC}$ — биссектриса $\angle \mathrm{BAD}$, значит:
   $$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{CAD}=\frac{\angle A}{2}=\frac{62°}{2}=31°$$
3. Рассмотрим треугольник $\mathrm{ACD}$. В нём известны:
   $$\angle \mathrm{CAD}=31°$$
   $$\angle \mathrm{ADC}=\angle D=62°$$
4. Находим угол $\angle \mathrm{ACD}$ в треугольнике $\mathrm{ACD}$:
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-\angle \mathrm{CAD}-\angle \mathrm{ADC}$$
   $$\angle \mathrm{ACD}=180°-31°-62°=87°$$

Ответ:

Решение методом интервалов:

1. Разложим неравенство на множители:
   $$x^2-49=(x-7)(x+7)$$
   $$(7-x)(x-7)(x+7)\ge 0$$
2. Находим корни уравнения $(7-x)(x-7)(x+7)=0$:
   $$7-x=0\Rightarrow x=7$$
   $$x-7=0\Rightarrow x=7$$
   $$x+7=0\Rightarrow x=-7$$
3. Заметим, что корни $x=7$ и $x=7$ совпадают. Таким образом, имеем два различных корня: $x=-7$ и $x=7$, причём корень $x=7$ — двукратный (кратности 2).
4. Отметим корни на числовой прямой:
   -7

   7
5. Определим знаки на каждом промежутке. Для этого возьмём пробные точки:
   • $x=-10$ (левее -7):
     $(7-(-10\left)\right)=17>0$, $(-10-7)=-17<0$, $(-10+7)=-3<0$
     Произведение: $(+)·(-)·(-)=(+)$
   • $x=0$ (между -7 и 7):
     $(7-0)=7>0$, $(0-7)=-7<0$, $(0+7)=7>0$
     Произведение: $(+)·(-)·(+)=(-)$
   • $x=10$ (правее 7):
     $(7-10)=-3<0$, $(10-7)=3>0$, $(10+7)=17>0$
     Произведение: $(-)·(+)·(+)=(-)$
6. Отметим знаки на прямой:

   +

   -

   -

   

   -

   При переходе через двукратный корень $x=7$ знак не меняется (так как множитель в квадрате).

7. Неравенство $\ge 0$ означает, что нам нужны промежутки со знаком + и точки, где выражение равно нулю.
   Из прямой видим:
   • На промежутке $(-\infty ;-7]$ знак +
   • В точке $x=7$ значение равно 0 (подходит)
   • На остальных промежутках знак − (не подходят)
8. Записываем ответ:
   $$x\in (-\infty ;-7]\cup \left\{7\right\}$$

   или в виде: (-∞; -7] ∪ {7}

Ответ: