Наклонная плоскость - теория и задачи с решениями

Список тем

Список тем

Механика

Движение под углом к горизонту

Закон сохранения энергии

Силы на наклонной плоскости - теория и формулы

Давайте разберём основные аспекты, связанные с задачами на наклонную плоскость. Предположим, что на шероховатой наклонной плоскости, которая расположена под некоторым углом α к горизонту покоится тело массой m, коэффициент трения равен μ.

В задачах на эту тему самым правильным будет начать с рисунка, на котором расставим все действующие на тело силы, с чего собственно и начнём.

Схема сил, действующих на тело, покоящееся на наклонной плоскости — Силы, действующие на тело, покоящееся на наклонной плоскости

На рисунке обозначим cилы, действующие на тело:

mg - сила тяжести, которая направлено вертикально вниз
N - сила нормальной реакции опоры, которая направлена всегда перпендикулярно плоскости
F_тр - сила трения. В данном случае, так как тело покоится на наклонной плоскости - сила трения покоя.

Общим для всех разновидностей задач на наклонную плоскость будет то, что силы направлены под углом друг-к-другу, из-за чего мы обязаны ввести оси и рассматривать проекции сил на эти оси.

Обычно вводят две оси:

Ось OY - направлена перпендикулярно наклонной плоскости вдоль силы нормальной реакции опоры N
Ось OX - направлена вдоль наклонной плоскости, обычно вниз

Нарисуем рисунок с осями и спроецируем силу тяжести mg на обе оси. Важно отметить, что угол наклонной плоскости равен углу между силой тяжести и осью OY и равен тому же α

Схема сил, действующих на тело на наклонной плоскости с осями и проекциями — Силы, действующие на тело, покоящееся на наклонной плоскости

Рассмотрим, как спроецировать mg на ось X и ось Y, для этого составим прямоугольный треугольник, в котором mg будет являться гипотенузой:

Разложение силы тяжести по осям — Силы, действующие на тело, покоящееся на наклонной плоскости

Теперь выразим компоненты mg вдоль осей используя определения синуса и косинуса угла альфа.

\sin α = \frac{x}{m g} \Rightarrow x = m g \sin α

\cos α = \frac{y}{m g} \Rightarrow y = m g \cos α

После того как мы выразили проекции силы тяжести, можно приступать к решению: система отсчета, связанная с землей является инерциальной, поэтому воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы расписать силы, действующие на тело:

\vec{F} = m \vec{a}

Теперь запишем второй закон Ньютона по осям. Так как тело покоится, ускорение по оси X и по оси Y будет равно 0, значит вместо ma во втором законе Ньютона можно записать 0.

Ось OY: 0 = N - m g \cos α

Ось OX: 0 = m g \sin α - F_{тр}

Так же вспомним формулу для силы трения, которая называется закон Кулона-Амонтsона

F_{тр} = μ N

Теперь можно выразить N из первого уравнения и подставить формулу вместо силы трения, попутно заменив N

\begin{array}{ll} N = m g \cos α \\ m g \sin α = μ m g \cos α \end{array}

Это общий вид уравнений, которые вы должны получить при расписывании сил на оси. Конечно эти уравнения могут отличаться в зависимости от того движется тело равномерно или равноускоренно, приложена к нему сила или нет, гладкая поверхность, или шероховатая, но идеи решения и разложения силы тяжести по осям X и Y будут оставаться постоянными.

Общие принципы решения задач на наклонную плоскость в 10 классе

Разложение сил, действующих под углом к осям, обычно это только сила тяжести, но могут быть и другие силы, приложенные не вдоль осей, а под углом к ним;
Составление уравнений на основании второго закона Ньютона.
Нахождение ключевых параметров. В зависимости от задачи, могут попросить найти массу тела, коэффициент трения или угол наклона плоскости

Наклонная плоскость - задачи с решениями для 10 класса

Вы можете отсортировать задачи по сложности или выбрать только те, которые могут быть в ЕГЭ по физике.

Сортировка по сложности: Задачи из ЕГЭ

Задача № 1

Тело равномерно скользит вниз по наклонной плоскости. Найдите коэффициент трения тела о плоскость, если тангенс угла наклона плоскости к горизонту равен 0,4.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} t g α = 0.4 \\ a = 0 м / с^{2} \\ μ = ? \end{array}

Решение:

Так как тело движется равномерно, равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю (по первому закону Ньютона).
Покажем все силы, действующие на тело:

Сила тяжести: $\vec{m} g$ , направлена вертикально вниз.
Сила реакции опоры: $\vec{N}$ , направлена перпендикулярно плоскости.
Сила трения: $\vec{F_{t r}}$ , направлена против движения (вдоль плоскости вверх).

Выберем оси координат: ось Оx направим вдоль плоскости вниз (по направлению движения), ось Оy — перпендикулярно плоскости вверх.
Разложим силу тяжести на компоненты вдоль выбранных осей:

F_{g x} = m g \cdot s i n α

(составляющая, тянущая тело вниз)

F_{g y} = m g \cdot c o s α

(составляющая, прижимающая тело к плоскости)

Запишем уравнение равновесия (второй закон Ньютона) в проекциях на оси:

O x : m g \cdot s i n α - F_{t r} = m a = 0 (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = m a = 0 (2)

Сила трения скольжения связана с силой реакции опоры формулой:

F_{t r} = μ N (3)

Выразим из уравнения (2) силу реакции опоры:

N = m g \cdot c o s α

Подставим это выражение и уравнение (3) в уравнение (1):

m g \cdot s i n α - μ \cdot m g \cdot c o s α = 0

Сократим на

m g

(масса и ускорение свободного падения не равны нулю):

s i n α - μ \cdot c o s α = 0

Перенесем слагаемое:

s i n α = μ \cdot c o s α

Поделим обе части уравнения на

c o s α

\frac{s i n α}{c o s α} = μ

Получаем:

t g α = μ

Из условия задачи известно, что тангенс угла наклона равен 0,4. Следовательно, коэффициент трения будет равен этому же значению:

μ = t g α = 0.4

Ответ: 0,4

Ответ: 0.4

Задача № 2

На шероховатой наклонной плоскости, наклонённой к горизонту под углом 30°, покоится брусок массой 3,0 кг. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,2. а) Какое ускорение будет иметь брусок, соскальзывая вниз по плоскости? б) На каком расстоянии от основания плоскости находился брусок, если после начала движения из состояния покоя он достиг нижнего конца за 2,0 секунды?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 30 ° \\ m = 3.0 кг \\ μ = 0.2 \\ t = 2.0 с \\ v_{0} = 0 \\ a = ? s = ? \end{array}

Решение:

а) Найдём ускорение бруска
Покажем все силы, действующие на брусок:

Сила тяжести: $m g$
Сила реакции опоры: $N$
Сила трения: $F_{t r} = μ N$

Выберем оси координат: ось Оx - вдоль плоскости вниз, ось Оy - перпендикулярно плоскости вверх.
Разложим силу тяжести на составляющие:

F_{g x} = m g \cdot s i n α

F_{g y} = m g \cdot c o s α

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

O x : m g \cdot s i n α - F_{t r} = m a (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = 0 (2)

Из уравнения (2):

N = m g \cdot c o s α

Тогда сила трения:

F_{t r} = μ N = μ m g \cdot c o s α

Подставим в уравнение (1):

m g \cdot s i n α - μ m g \cdot c o s α = m a

Сократим на m:

a = g \cdot s i n α - μ g \cdot c o s α = g \cdot (s i n α - μ \cdot c o s α)

Подставим численные значения (g ≈ 10 м/с²):

a = 10 \cdot (s i n 30 ° - 0.2 \cdot c o s 30 °) = 10 \cdot (0.5 - 0.2 \cdot 0.866)

a = 10 \cdot (0.5 - 0.173) = 10 \cdot 0.327 = 3.27 м / с^{2}

б) Найдём расстояние от основания плоскости
Используем формулу пути для равноускоренного движения без начальной скорости:

s = \frac{a t^{2}}{2}

Подставим значения:

s = \frac{3.27 \cdot (2.0)^{2}}{2} = \frac{3.27 \cdot 4.0}{2} = \frac{13.08}{2} = 6.54 м

Ответ: а) 3,27 м/с²; б) 6,54 м

Задача № 3

Мальчик на санках скатывается вниз по заснеженному склону. Масса мальчика вместе с санками составляет 50 кг, угол наклона склона к горизонту — 30°. Сила трения, действующая на систему, равна 64 Н. Найдите ускорение мальчика при движении вниз по склону.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} m = 50 кг \\ α = 30 ° \\ F_{t r} = 64 Н \\ g \approx 10 м / с^{2} \\ a = ? \end{array}

Решение:

Покажем все силы, действующие на систему "мальчик + санки":

Сила тяжести: $m g$
Сила реакции опоры: $N$
Сила трения: $F_{t r}$

Выберем оси координат: ось Оx - вдоль склона вниз (по направлению движения), ось Оy - перпендикулярно склону вверх.
Разложим силу тяжести на составляющие:

F_{g x} = m g \cdot s i n α

(составляющая, тянущая санки вниз)

F_{g y} = m g \cdot c o s α

(составляющая, прижимающая санки к склону)

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

O x : m g \cdot s i n α - F_{t r} = m a (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = 0 (2)

Из уравнения (1) выразим ускорение:

m a = m g \cdot s i n α - F_{t r}

a = \frac{m g \cdot s i n α - F_{t r}}{m} = g \cdot s i n α - \frac{F_{t r}}{m}

Подставим численные значения:

a = 10 \cdot s i n 30 ° - \frac{64}{50} = 10 \cdot 0.5 - 1.28

a = 5 - 1.28 = 3.72 м / с^{2}

Ответ: 3,72 м/с²

Ответ: 3.72

Задача № 4

К блоку массой 4,5 кг, который движется вверх по наклонной плоскости с углом наклона 35° к горизонту, приложена сила 74 Н. Известно, что ускорение блока составляет 8,6 м/с². Определите коэффициент трения между поверхностью плоскости и блоком.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} m = 4,5 кг \\ α = 35 ° \\ F = 74 Н \\ a = 8,6 м / с^{2} \\ g \approx 10 м / с^{2} \\ μ = ? \end{array}

Решение:

Покажем все силы, действующие на блок:

Сила тяжести: $m g$
Сила реакции опоры: $N$
Сила трения: $F_{t r}$ (направлена вниз по плоскости, так как блок движется вверх)
Приложенная сила: $F$ (направлена вверх по плоскости)

Выберем оси координат: ось Оx - вдоль плоскости вверх (по направлению движения), ось Оy - перпендикулярно плоскости вверх.
Разложим силу тяжести на составляющие:

F_{g x} = m g \cdot s i n α

(составляющая, тянущая блок вниз)

F_{g y} = m g \cdot c o s α

(составляющая, прижимающая блок к плоскости)

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

O x : F - m g \cdot s i n α - F_{t r} = m a (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = 0 (2)

Сила трения скольжения:

F_{t r} = μ N (3)

Из уравнения (2):

N = m g \cdot c o s α

Тогда сила трения:

F_{t r} = μ m g \cdot c o s α

Подставим в уравнение (1):

F - m g \cdot s i n α - μ m g \cdot c o s α = m a

Выразим коэффициент трения μ:

μ m g \cdot c o s α = F - m g \cdot s i n α - m a

μ = \frac{F - m g \cdot s i n α - m a}{m g \cdot c o s α}

Подставим численные значения (sin35° ≈ 0,574; cos35° ≈ 0,819):

μ = \frac{74 - 4,5 \cdot 10 \cdot 0,574 - 4,5 \cdot 8,6}{4,5 \cdot 10 \cdot 0,819}

Вычислим числитель:

74 - 4,5 \cdot 5,74 - 4,5 \cdot 8,6 = 74 - 25,83 - 38,7 = 9,47

Вычислим знаменатель:

4,5 \cdot 8,19 = 36,855

Получаем:

μ = \frac{9,47}{36,855} \approx 0,257

Округляем до сотых:

μ \approx 0,26

Ответ: 0,26

Ответ: 0.26

Задача № 5

Монета массой 7,00 г лежит на поверхности шероховатой книги. Сила трения покоя, действующая на монету, принимает максимальное значение равное 0,044 Н. Определите максимальный угол наклона книги, при котором монета начнёт скользить.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} m = 7,00 г = 0,007 кг \\ F_{t r . m a x} = 0,044 Н \\ g \approx 10 м / с^{2} \\ α = ? \end{array}

Решение:

Монета начнёт скользить в тот момент, когда составляющая силы тяжести, направленная вдоль плоскости, сравняется с максимальной силой трения покоя.
Покажем все силы, действующие на монету:

Сила тяжести: $m g$
Сила реакции опоры: $N$
Сила трения покоя: $F_{t r}$ (направлена вверх по плоскости)

F_{g x} = m g \cdot s i n α

(составляющая, тянущая монету вниз)

F_{g y} = m g \cdot c o s α

(составляющая, прижимающая монету к книге)

Запишем условия равновесия (монета ещё не скользит, но вот-вот начнёт):

O x : m g \cdot s i n α - F_{t r . m a x} = 0 (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = 0 (2)

Из уравнения (1) находим:

m g \cdot s i n α = F_{t r . m a x}

Выразим синус угла наклона:

s i n α = \frac{F_{t r . m a x}}{m g}

Подставим численные значения:

s i n α = \frac{0,044}{0,007 \cdot 10} = \frac{0,044}{0,07} = 0,6286

Найдём угол α:

α = a r c s i n (0,6286) \approx 39 °

Проверим через коэффициент трения:
Из уравнения (2):

N = m g \cdot c o s α

Максимальная сила трения покоя:

F_{t r . m a x} = μ N = μ m g \cdot c o s α

При критическом угле:

m g \cdot s i n α = μ m g \cdot c o s α

Отсюда:

t g α = μ

Найдём μ из данных задачи:

μ = \frac{F_{t r . m a x}}{N} = \frac{F_{t r . m a x}}{m g \cdot c o s α}

Но проще:

t g α = \frac{s i n α}{c o s α} = \frac{0,6286}{0,7778} \approx 0,808

α = a r c t g (0,808) \approx 39 °

Ответ: 39°

Задача № 6

Снегоход тянет санки массой 40 кг вверх по заснеженному склону с углом наклона 25,0°. Коэффициент трения скольжения между санками и снегом составляет 0,040. С каким ускорением будут двигаться санки, если сила тяги снегохода равна 250 Н?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} m = 40 кг \\ α = 25,0 ° \\ μ = 0,040 \\ F = 250 Н \\ g \approx 10 м / с^{2} \\ a = ? \end{array}

Решение:

Покажем все силы, действующие на санки:

Сила тяжести: $m g$
Сила реакции опоры: $N$
Сила трения: $F_{t r}$ (направлена вниз по склону, так как санки движутся вверх)
Сила тяги снегохода: $F$ (направлена вверх по склону)

Выберем оси координат: ось Оx - вдоль склона вверх (по направлению движения), ось Оy - перпендикулярно склону вверх.
Разложим силу тяжести на составляющие:

F_{g x} = m g \cdot s i n α

(составляющая, тянущая санки вниз)

F_{g y} = m g \cdot c o s α

(составляющая, прижимающая санки к склону)

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

O x : F - m g \cdot s i n α - F_{t r} = m a (1)

O y : N - m g \cdot c o s α = 0 (2)

Сила трения скольжения:

F_{t r} = μ N (3)

Из уравнения (2):

N = m g \cdot c o s α

Тогда сила трения:

F_{t r} = μ m g \cdot c o s α

Подставим в уравнение (1):

F - m g \cdot s i n α - μ m g \cdot c o s α = m a

Выразим ускорение a:

m a = F - m g \cdot s i n α - μ m g \cdot c o s α

a = \frac{F - m g \cdot s i n α - μ m g \cdot c o s α}{m}

a = \frac{F}{m} - g \cdot s i n α - μ g \cdot c o s α

Подставим численные значения (sin25° ≈ 0,423; cos25° ≈ 0,906):

a = \frac{250}{40} - 10 \cdot 0,423 - 0,040 \cdot 10 \cdot 0,906

a = 6,25 - 4,23 - 0,362

a = 1,658 м / с^{2}

Округляем до десятых:

a \approx 1,7 м / с^{2}

Ответ: 1,7 м/с²

Наклонная плоскость в школьной программе

Впервые школьники встречают наклонную плоскость ещё в 7 классе, но там она разбирается очень посредственно и только с точки зрения КПД наклонной плоскость Полноценно эта тема разбирается в школьной программе по физике в 10 классе в разделе динамики.

В олимпиадной физике эти задачи встречаются начиная с 9 класса, теория на этой странице поможет вам разобраться с этой темой самостоятельно.

Наклонная плоскость - теория и задачи

Силы на наклонной плоскости - теория и формулы

Общие принципы решения задач на наклонную плоскость в 10 классе

Наклонная плоскость - задачи с решениями для 10 класса

Задача № 1

Решение:

Задача № 2

Решение:

Задача № 3

Решение:

Задача № 4

Решение:

Задача № 5

Решение:

Задача № 6

Решение:

Наклонная плоскость в школьной программе

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки