Задачи на движение тела под углом к горизонту с решениями

Список тем

Список тем

Механика

Движение под углом к горизонту

Закон сохранения энергии

Полет под углом к горизонту - теория и формулы

Полет под углом к горизонту – это классическое движение, при котором тело бросают с начальной скоростью под углом к поверхности земли либо бросают горизонтально с какой-то высоты с начальной скоростью. Такое движение является примером криволинейного движения, где на тело действует сила тяжести, и оно движется по параболической траектории.

В жизни существует достаточно много ситуаций, где можно встретить движение под углом к горизонту:

Спорт: бросок мяча в футболе или баскетболе 🏀⚽
Артиллерийский выстрел или запуск ракеты 🚀
Сброс груза с самолёта ✈️📦
Запуск фейерверка 🎆
Любой бросок предмета вверх и вперёд или просто вперёд 🪨

В задачах на эту тему необходимо учитывать компоненты начальной скорости, ускорение свободного падения и время движения. Это движение по параболе(или по ветке параболы), где основное влияние оказывает сила тяжести, направленная вниз.

Разберём подробно виды задач на движение под углом к горизонту, способы решения и основные формулы каждого вида движения тела, брошенного в поле силы тяжести земли.

Общим для всех задач будет то, что рассматривать движение по параболе, или по её ветке очень сложно, поэтому всегда в такого рода задачах вводится вертикальная ось OY и горизонтальная ось OX и движение всегда рассматривается по двум осям отдельно.

Ось OY - вертикальная ось, движение вдоль которой равноускоренное, так как вдоль этой оси действует ускорение свободного падения
Ось OX - горизонтальная ось - движение вдоль которой равномерное, так как никаких ускорений вдоль горизонтальной оси не действует. (Сопротивление воздуха в данных задачах не учитывается)

Разложение векторов и принципы решения задач очень сильно отличаются в зависимости от вида задач, поэтому давайте разберем каждый из них подробно

Движение тела брошенного под углом к горизонту с уровня земли

Этот вид задач считается самым классическим и разбирается всегда в первую очередь.

Представим, что тело бросили с поверхности земли вверх под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀ - чаще всего это все, что дано в подобного рода задачах.

Изобразим на рисунке траекторию движения тела - это будет парабола симметричная относительно точки, в которой тело достигает максимальной высоты.

Полет под углом к горизонту при броске с уровня земли — Движение тела, брошенного под углом к горизонту с уровня земли

Первым делом необходимо представить сложное движение по параболе в виде движений вдоль оси OX и OY. То есть разложить на горизонтальную и горизонтальную часть и затем разбирать их отдельно.

Рассмотрим разложение начальной скорости по осям, для этого составим прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет начальная скорость, а катетами - горизонтальная и вертикальная скорость.

Треугольник скоростей: начальная скорость - гипотенуза, вертикальная и горизонтальная скорость - катеты — Разложение начальной скорости по осям X и Y (на горизонтальную и вертикальную составляющую).

Заметим, что так как мы знаем угол α, значит мы знаем и синус и косинус угла альфа. Тогда мы можем расписать чему равны синус и косинус по определению

Распишем синус и косинус угла альфа по определению.

\sin (α) = \frac{Противолежащий катет}{Гипотенуза}

\cos (α) = \frac{Прилежащий катет}{Гипотенуза}

Тогда распишем синус и косинус в рамках условия нашей задачи и нашего треугольника со скоростями

\cos α = \frac{{\vec{V}}_{x}}{{\vec{V}}_{o}} \Rightarrow {\vec{V}}_{x} = {\vec{V}}_{o} \cos α

\sin α = \frac{{\vec{V}}_{y}}{{\vec{V}}_{o}} \Rightarrow {\vec{V}}_{y} = {\vec{V}}_{o} \sin α

Теперь давайте разберем движение по осям, начнём с вертикальной оси OY.

Движение вдоль вертикальной оси

Движение вдоль оси Y является равноускоренным, так как вдоль неё вниз действует ускорение свободного падения g.

В силу того, что траектория движения тела - парабола, можно рассматривать только движение тела вверх, до точки максимальной высоты. Движение вниз будет абсолютно таким же.

Очень важно понимать, что движение вверх будет продолжаться до тех пор, пока присутствует вертикальная скорость, и как только она станет равна 0, подъем вверх прекратится и тело достигнет точки максимальной высоты.

Именно из того, что вертикальная скорость в верхней точки равна 0 находится время подъема тела на максимальную высоту:

\bar{v} = \bar{v_{0}} + \bar{a} t

OY:

0 = v_{0} \sin α - g t

t = \frac{v_{0} \sin α}{g}

Теперь разберем формулу для нахождения максимальной высоты полёта. Это можно сделать используя любою формулу для пути в равноускоренном движении, но проще всего использовать следующую формулу:

H = \frac{{\vec{Vo}}^{2} {sin}^{2} α}{2 g}

Разберём вывод этой формулы. Используем формулу для перемещения при равноускоренном движении:

S = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a}

Для вертикального движения (ось Y):

H = \frac{v_{y}^{2} - v_{0 y}^{2}}{2 a}

Подставляем проекции скоростей и ускорение:

H = \frac{0^{2} - {(v_{0} \sin α)}^{2}}{2 (- g)}

H = \frac{- v_{0}^{2} \sin^{2} α}{- 2 g}

Минусы сокращаются:

H = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} α}{2 g}

Получаем итоговую формулу:

H = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} \sin^{2} α

Движение вдоль горизонтальной оси

Вдоль горизонтальной оси X движение будет равномерным, и происходит в течение всего времени полета, которое будет равно удвоенному времени полёта вверх, так как движение вверх и вниз симметричное и занимает одинаковое количество времени.

Вспомним, что мы выразили время движения, и горизонтальную скорость. Подставим их в формулу для горизонтальной дальности полёта.

L = v_{x} \cdot t = v_{0} \cos α \cdot \frac{2 v_{0} \sin α}{g}

Отметим, что данную формулу можно ещё упростить используя формулу синуса двойного угла и заменить 2sinαcosα на sin2α

L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 α}{g}

Все эти формулы можно использовать при решении задач напрямую, но мы бы рекомендовали вам выводить их самостоятельно при решении задач для лучшего их запоминания

Задачи на горизонтальный бросок с высоты

При горизонтальном броске тела, с какой-либо начальной высоты его траектория будет так же параболической, но состоять только из одной ветки параболы

Траектория движения тела при горизонтальном броске с некоторой высоты — Траектория движения тела при броске с некоторой высоты горизонтально

При таком движении мы так же должны разложить движение по двум осям, но с некоторыми особенностями.

Телу придается горизонтальная скорость v₀, это значит, что она будет равна v_x
Так как тело бросают горизонтально, его вертикальная скорость будет равна 0. v_y0 = 0
Время движения будет так же рассчитываться из вертикального движения, но уже не из условия обнуления скорости, а из высоты. Поскольку полёт тела закончится, как только тело пройдёт путь равный высоте, так как тело упадёт на землю

Сначала разберём движение по оси OY. Здесь нет смысла использовать формулу для высоты как в прошлом примере, так как мы не знаем конечную скорость. Поэтому будем пользоваться формулой со временем и начальной скоростью.

h = v_{0 y} t + \frac{g t^{2}}{2}

Так как начальная скорость вдоль оси Y равна 0, преобразуем формулу.

h = \frac{g t^{2}}{2}

Теперь выразим отсюда время движения вниз

t^{2} = \frac{2 h}{g}

t = \frac{\sqrt{2 h}}{\sqrt{g}}

Мгновенная вертикальная скорость движения будет рассчитываться по формуле:

v_{y} = g \cdot t

Теперь рассмотрим движение вдоль горизонтальной оси OX. Время полёта вдоль горизонтальной оси будет равно времени движения вдоль вертикальной оси. Начальная скорость была направлена горизонтально и не менялась, так как движение равномерное

L = v_{0} \cdot t

Подставим выражение для времени

L = v_{0} \cdot \sqrt{\frac{2 h}{\sqrt{g}}}

Общие принципы решения задач

Разложение скорости на компоненты. Начальная скорость раскладывается на горизонтальную и вертикальную компоненты
Решение уравнений движения. По осям OX и OY составляются уравнения для координат. По оси OX движение равномерное, а по оси OY – равноускоренное с ускорением g.
Нахождение ключевых параметров. В зависимости от задачи, могут быть нужны максимальная высота, время полета, дальность полета, скорости в определенный момент времени и т. д.

Основные формулы для решения задач на движение под углом к горизонту

Основные формулы по задачам на криволинейное движение были подробно разобраны в каждом из видов полетов, с выводами и преобразованиями, мы собрали их все здесь, чтобы вы могли быстро к ним возвращаться в ходе решения задач

Бросок с уровня земли:

Время полёта вверх:

Максимальная высота:

Формула максимальной высоты при движении под углом к горизонту

Максимальная дальность полёта

Бросок горизонтально с некоторой высоты:

Общее время полёта:

Максимальная высота:

Максимальная дальность полёта

Виды задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту с решениями:

Задачи на дальность полета. Здесь нужно найти, на какое расстояние 𝐿 тело будет отброшено при известной начальной скорости и угле броска.
Задачи на максимальную высоту. Рассчитывается, на какую высоту 𝐻 поднимется тело, бросаемое под углом к горизонту.
Задачи на время полета. Нужно найти, сколько времени тело будет находиться в воздухе до того, как оно коснётся земли. Задачи на время полета. Нужно найти, сколько времени тело будет находиться в воздухе до того, как оно коснётся земли.

Движение под углом к горизонту - задачи с решениями

Сортируйте задачи по сложности и решайте тренажёры по возрастанию сложности

Сортировка по сложности: Задачи из ЕГЭ

Задача № 1

Самолёт доставляет вещи и продукты северным деревням, до которых не добраться по дорогам из-за сильной метели. Он летит на высоте 785 метров с постоянной скоростью 53,5 м/с. На каком удалении от деревни второй пилот должен сбросить груз, чтобы жителям деревни не пришлось идти в метель за грузом и груз попал ровно в деревню?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0 x} = 53.5 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ h = 785 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ s_{x} = ? \end{array}

Решение:

Когда самолёт летит горизонтально на высоте 785 метров со скоростью 53,5 м/с, сброшенный груз продолжает лететь вперёд(горизонтально) с этой же скоростью, пока падает вниз. Для расчёта нужно узнать, сколько времени груз будет падать, и за это время — какой путь успеет пролететь по горизонтали. Запишем уравнение движения в проекциях на оси Оу и Ох:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1)

(так как вдоль оси Ох на груз не действует никакая сила, значит ускорение равно 0 согласно второму закону Ньютона, поэтому движение вдоль этой оси будет равномерным, то есть с постоянной скоростью)

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2)

(так как вдоль оси Оу на груз действует сила тяжести, значит ускорение равно ускорению свободного падения и движение вдоль этой оси будет равноускоренным) Пройденный путь грузом вдоль оси Оу мы обозначили за h, а начальная скорость вдоль этой оси равна 0 м/с, тогда

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 785 м}{10 м / с^{2}}} \approx 12.53 с

После того, как мы нашли время падения груза, мы можем вычислить пройденный им путь вдоль оси Ох, то есть расстояние до деревни, на котором самолету следует его сбросить

и з (1) ⟹ s_{x} = 53.5 м / с \cdot 12.53 с = 670.355 м \approx 670 м

Ответ: 670 м

Задача № 2

На ветке дерева на высоте 3,82 метра над уровнем земли сидит пума. Вдруг она замечает кролика — он находится на земле в 4,12 метра от основания дерева. С какой горизонтальной скоростью нужно прыгнуть пуме, чтобы приземлиться ровно в том место, где сейчас сидит кролик?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} h = 3.82 м \\ s_{x} = 4.12 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{0 x} = ? \end{array}

Решение:

Запишем уравнение движения в проекциях на оси Оу и Ох:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1)

(так как вдоль оси Ох на пуму не действует никакая сила, значит ускорение равно 0 согласно второму закону Ньютона, поэтому движение вдоль этой оси будет равномерным, то есть с постоянной скоростью)

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2)

(так как вдоль оси Оу на пуму действует сила тяжести, значит ускорение равно ускорению свободного падения и движение вдоль этой оси будет равноускоренным) Пройденный путь пумой вдоль оси Оу мы обозначили за h, а начальная скорость вдоль этой оси равна 0 м/с, тогда

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 3.82 м}{10 м / с^{2}}} \approx 0.87 с

После того, как мы нашли время приземления пумы, мы можем вычислить горизонтальную состовляющую скорости, направленную вдоль оси Ох, другими словами проекцию начальной скорости на ось Ох

и з (1) ⟹ v_{0 x} = \frac{s_{x}}{t} = \frac{4.12 м}{0.87 с} = 4.7356 м / с \approx 4.74 м / с

Ответ: 4,74 м/с

Задача № 3

Лыжник участвует в соревнования по прыжкам с трамплина. К горизонтальному участку горки он смог разогнаться до скорости 22.4 м/с. а) На каком расстоянии от горки приземлится лыжник, если трамплин находится на высоте 78.5 метров? б) Какую скорость имел лыжник в момент приземления?

Иллюстрация к задаче номер 3 на полёт под углом к горизонту

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0 x} = 22.4 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ h = 78.5 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ а) s_{x} = ? \\ б) v = ? \end{array}

Решение:

Запишем уравнение движения в проекциях на оси Оу и Ох:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1)

(так как вдоль оси Ох на лыжника не действует никакая сила, значит ускорение равно 0 согласно второму закону Ньютона, поэтому движение вдоль этой оси будет равномерным, то есть с постоянной скоростью)

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2)

(так как вдоль оси Оу на лыжника действует сила тяжести, значит ускорение равно ускорению свободного падения и движение вдоль этой оси будет равноускоренным) Пройденный путь лыжником вдоль оси Оу мы обозначили за h, а начальная скорость вдоль этой оси равна 0 м/с, тогда

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 78.5 м}{10 м / с^{2}}} \approx 3.96 с

После того, как мы нашли время падения лыжника, мы можем вычислить пройденный им путь вдоль оси Ох, то есть расстояние от конца трамплина до места приземления вдоль оси Ох

и з (1) ⟹ s_{x} = 22.4 м / с \cdot 3.96 с = 88.704 м \approx 88.7 м

Ускорение по определению это физическая величина, которая показывает как сильно меняется скорость с течением времени и если ускорение не меняется (равноускоренное движение), то мы можем вывести следующую формулу для конечной скорости в этом случае:

и з (3) ⟹ v_{y} = v_{y 0} + a_{y} \cdot t = g \cdot t = 10 м / с^{2} \cdot 3.96 с = 39.6 м / с

А так как оси для проекций выбираются взаимно перпендикулярными, а длина вектора - это значение векторной физической величины по модулю (м/с для скорости или Н для силы), то значение скорости можно вычислить через Теорему Пифагора благодаря тому, что теперь нам известы конечные составляющие скорости (вертикальная и горизонтальная)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{{22.4}_{}^{2} + {39.6}_{}^{2}} \approx 45.5 м / с

Ответ: а ) 88,7 м б) 45,5 м/с

Задача № 4

Лучник выпускает стрелу горизонтально в направлении мишени с начальной скоростью 70,1 м/с. Расстояние до мишени составляет 12,5 метров. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на сколько метров траектория стрелы окажется ниже или выше центра мишени в момент достижения горизонтального расстояния до цели.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0 x} = 70.1 \\ s_{x} = 12.5 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ g = 10 м / с^{2} \\ h = ? \end{array}

Решение:

Запишем уравнение движения в проекциях на оси Оу и Ох:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1)

(так как вдоль оси Ох на стрелу не действует никакая сила, значит ускорение равно 0 согласно второму закону Ньютона, поэтому движение вдоль этой оси будет равномерным, то есть с постоянной скоростью)

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2)

(так как вдоль оси Оу на стрелу действует сила тяжести, значит ускорение равно ускорению свободного падения и движение вдоль этой оси будет равноускоренным)

И з (1) ⟹ t = \frac{s_{x}}{v_{0 x}} = \frac{12.5 м}{70.1 с} = 0.17832 с \approx 0.18 с

После того, как мы нашли время полета стрелы до мишени, мы можем вычислить пройденный путь стрелой вдоль оси Оу, которую мы обозначили за h, а начальная скорость вдоль этой оси равна 0 м/с:

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ \frac{10 м / с^{2} \cdot (0.18 с)^{2}}{2} \approx 0.162 м = 16, 2 с м

Ответ: 16,2 см

Задача № 5

Гольфист бьёт по мячу с площадки, расположенной на высоте 4.9 метров над землей. Удар придаёт мячу горизонтальную скорость 20 м/с. Какую скорость и ускорение будет иметь мяч через 0.5 секунд после удара?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0 x} = 20 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ h = 4.9 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ a (1.5 с) = ? \\ v (1.5 с) = ? \end{array}

Решение:

Так как вдоль оси Ох на мяч не действует никакая сила, значит ускорение равно 0 согласно второму закону Ньютона, поэтому движение вдоль этой оси будет равномерным, то есть с постоянной скоростью, а вдоль оси Оу на мяч действует сила тяжести, значит ускорение равно ускорению свободного падения и движение вдоль этой оси будет равноускоренным, а значит все время движения мяча (в том числе через 0.5 с)

a = g = 10 м / с^{2}

a = \frac{Δ v}{Δ t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ v - v_{0} = a \cdot t ⟹ v = v_{0} + a \cdot t (1)

и з (1) ⟹ v_{y} = v_{y 0} + a_{y} \cdot t = g \cdot t = 10 м / с^{2} \cdot 1.5 с = 15 м / с

А так как оси для проекций выбираются взаимно перпендикулярными, а длина вектора - это значение векторной физической величины по модулю (м/с для скорости или Н для силы), то значение скорости можно вычислить через Теорему Пифагора благодаря тому, что теперь нам известны конечные составляющие скорости (вертикальная и горизонтальная)

v (1.5 с) = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{20_{}^{2} + 15_{}^{2}} \approx 25 м / с

Ответ: 10 м/с^2 25 м/с

Задача № 6

Пираты стреляют из пушки по вражескому кораблю. Ядро вылетает со скоростью 40 м/с под углом 30° к горизонту. Цель находится на одном уровне с пушкой.
а) Определите вертикальную и горизонтальную составляющие начальной скорости ядра. б) Как долго ядро будет находится в воздухе, если цель находится на той же высоте и на максимальном удалении? в) Какой максимальной высоты достигнет ядро? г) Как далеко от пиратского корабля находится цель? д) Какую скорость будет иметь ядро через 1.5 секунды после выстрела?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0} = 40 м / с \\ α = 30 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{0 x} = ? \\ v_{0 y} = ? \\ T = ? \\ H_{m a x} = ? \\ L = ? \end{array}

Решение:

Найдём значения вертикальной и горизонтальной составляющих начальной скорость (её проекции на оси Оу и Ох), используя определения тригонометрических функций (sina и cosa) в полученном прямоугольном треугольнике:

\begin{array}{l} sinα = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} ⟹ v_{0 y} = v_{0} \cdot sinα = 40 м / с \cdot s i n (30 °) = 20 м / с \\ cosα = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} ⟹ v_{0 x} = v_{0} \cdot cosα = 40 м / с \cdot c o s (30 °) \approx 34.64 м / с \end{array}

Далее запишем уравнения движения в проекциях на оси Ох:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1)

(заметим, что если не учитывать сопротивлением воздуха, то вдоль горизонтальной оси на тело не действует никакой силы и соответственно отсутствует ускорение, а значит тело будет двигаться вдоль этой оси равномерно, то есть с постоянной скоростью) Теперь запишем уравнение движения тела вдоль оси Оу, но разобьем на две разные ситуации: 1) В первом случае рассмотрим движение тела вверх до достижения максимальной высоты (в этом случае на тело действует сила тяжести направленная вниз, а соответственно и ускорение свободного падения g, при этом скорость направлена вверх, а значит тело будет замедляться из-за разнонаправленности скорости и ускорения):

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t_{1} - \frac{a_{y} \cdot t_{1}^{2}}{2} ⟹ H_{m a x} = v_{0 y} \cdot t_{1} - \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} (2)

2) Во втором случае рассмотрим движение тела вниз с максимальной высоты до падения (в этом случае ускорение также направленно вниз, но и скорость движения будет направленна вниз, а значит тело будет разгоняться):

O y : s_{y} = 0 \cdot t_{2} + \frac{a_{y} \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ H_{m a x} = \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} (3)

Можно заметить, что в полученных нами уравнениях большое количество неизвестных физических величин, поэтому обратимся к определению ускорения: Ускорения - это физическая величина, характеризующая изменение скорости за единицу времени

a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ v_{y} = v_{0 y} - a_{y} \cdot t (4)

В нашем случае формула будет выглядеть следующим образом:

И з (4) ⟹ 0 = v_{0 y} - g \cdot t_{1} ⟹ v_{0 y} = g \cdot t_{1} ⟹ t_{1} = \frac{v_{0 y}}{g} = 2 с

Теперь неизвестных стало меньше и мы можем вычислить максимальную высоту, до которой сможет долететь ядро при заданной начальной скорости и данном угле к горизонту:

И з (2) ⟹ H_{m a x} = v_{0 y} \cdot t_{1} - \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = 20 м / с \cdot 2 с - \frac{10 м / с^{2} \cdot (2 с)_{}^{2}}{2} = 20 м (5)

Далее найдем время, необходимое ядру, чтобы упасть с максимальной высоты:

И з (3) и (5) ⟹ H_{m a x} = \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ t_{2}^{2} = \frac{2 \cdot H_{m a x}}{g} ⟹ t_{2} = \sqrt{\frac{2 \cdot H_{m a x}}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 20 м}{10 м / с^{2}}} = 2 с

Зная время набора высоты и падения, мы можем вычислить время всего полета и соответственно дальность полета ядра:

T = t_{1} + t_{2} = 2 с + 2 с = 4 с

И з (1) ⟹ L = v_{0 x} \cdot T = 36.64 м / c \cdot 4 c = 146.56 м

И снова обратимся к определению ускорения, чтобы вычислить значение скорости ядра через 1.5с полета (помним, что горизонтальная составляющая вектора скорости у нас постоянная, а значит необходимо лишь найти вертикальную составляющая, которая изменилась и по теореме Пифагора с известными катетами вычислить гипотенузу - длину вектора скорости):

\begin{array}{l} И з (4) ⟹ v_{y} (1.5 с) = v_{0 y} - g \cdot t = 20 м / с - 10 м / с^{2} \cdot 1.5 с = 5 м / с \\ v (1.5 с) = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{{36.64}_{}^{2} + 5_{}^{2}} \approx 35 м / с \end{array}

Ответ: а) 20м/с и 34,64 м/с
б) 4 с
в) 20 м
г) 146, 56 м
д) 35 м/с

Задача № 7

Тело брошено вверх под углом к горизонту 30°. С какой начальной скоростью его бросили, если максимальная высота, которой достигло тело, равняется 5.75 метров?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 30 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ H_{\max} = 5.75 м \\ v_{0} = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенной формулой максимальной высоты, до которой может долететь брошенное под углом тело, а затем выразим из нее искомую начальную скорость:

H_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \cdot \sin 2 α}{2 \cdot g} ⟹ 2 \cdot g \cdot H_{m a x} = v_{0}^{2} \cdot si n^{2} α ⟹ v_{0}^{2} = \frac{2 \cdot g \cdot H_{m a x}}{s i n^{2} ?} ⟹ v_{0} = \frac{\sqrt{2 \cdot g \cdot H_{m a x}}}{s i n ?}

А теперь нам достаточно подставить известные величины и вычислить ответ:

v_{0} = \frac{\sqrt{2 \cdot 10 м / с^{2} \cdot 5.75 м}}{s i n 30 °} = \frac{10.7238}{0.5} \approx 21.45 м / с

Ответ: 21, 45 м/с

Задача № 8

В походе вы забрались на вершину скалы высотой 60 метров и с края обрыва бросили камень со скоростью 21 м/с под углом к горизонту 35°. Как далеко от обрыва камень упадет на землю?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} H_{0} = 60 м \\ v_{0} = 21 м / с \\ α = 35 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ L = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенными формулами горизонтальной и вертикальной составляющими вектора скорости:

v_{0 x} = v_{0} \cdot c o s α = 21 м / с \cdot c o s 35 ° \approx 17.2 м / с

v_{0 y} = v_{0} \cdot s i n α = 21 м / с \cdot s i n 35 ° \approx 12.05 м / с = v_{0 y}^{'}

(заметим, что мы ввели новое обозначение для вертикальной составляющей скорости, которой обладало тело пролетев некоторое расстояние вперед по дуге в момент, когда вернулось на ту же высоту 60м, откуда было брошено, оно нам пригодится чуть позже)
Далее вычислим время полета по раннее выведенной нами формулой максимальной длительности полета тела, брошенного под углом к горизонту:

t_{1} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot s i n α}{g} = \frac{3 \cdot 21 м / с \cdot s i n 35 °}{10 м / с^{2}} \approx 3.61 с

(заметим, что это время полета тела по дуге от точки на высоте в 60 метров, до другой точки на той же высоте)
Теперь вернемся к введенному нами новому обозначению, с момента когда тело снова достигло высоты 60 метров, оно продолжает свое падение и для того, чтобы вычислить дальность приземления, нам необходимо знать сколько будет длиться это падение с 60 метров, поэтому снова обратимся к уравнению равноускоренного движения вдоль оси Оу:

\begin{array}{l} O y : s_{y} = v_{0 y}^{'} \cdot t_{2} + \frac{a_{y} \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ H_{0} = v_{0 y}^{'} \cdot t_{2} + \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ 60 м = 12.05 м / с \cdot t_{2} + \frac{10 м / с^{2} \cdot t_{2}^{2}}{2} \\ ⟹ 5 \cdot t_{2}^{2} + 12.05 \cdot t_{2} - 60 = 0 \\ t_{2} \approx 2.43 с \end{array}

(заметим, что в этот раз нам пришлось решить квадратное уравнение, чтобы вычислить длительность падения тела с высоты 60 метров, очевидно, что мы отбросили второй отрицательный корень этого уравнения)
Зная вертикальную составляющую вектора скорости и тот факт, что вдоль оси Ох тело всё это время двигалось равномерно, можем вычислить как далеко от скалы оно смогло упасть:

\begin{array}{l} T = t_{1} + t_{2} = 4.84 с \\ L = v_{0 x} \cdot T = 17.2 м / с \cdot 4.84 с \approx 83.25 м \end{array}

Ответ: 83,25 м

Задача № 9

На тренировке бейсболист поднялся на трибуны, на высоту 5.3 метров по сравнению с игровым полем, чтобы забрать оттуда мяч. Он бросил его обратно на поле под углом к горизонту 42° с начальной скоростью 15 м/с. Какая скорость будет у мяча в момент приземления на поле?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} H_{0} = 5.3 м \\ v_{0} = 15 м / с \\ α = 42 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ v = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенными формулами горизонтальной и вертикальной составляющими вектора скорости:

\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cdot c o s α = 15 м / с \cdot c o s 42 ° \approx 11.15 м / с = v_{x} \\ v_{0 y} = v_{0} \cdot \sin α = 15 м / с \cdot s i n 42 ° \approx 10.04 м / с = v_{0 y}^{'} \end{array}

(заметим, что мы ввели новое обозначение для вертикальной составляющей скорости, которой обладало тело пролетев некоторое расстояние вперед по дуге в момент, когда вернулось на ту же высоту 5.3м, откуда было брошено, оно нам пригодится чуть позже)
Для того, чтобы вычислить конечную скорость мяча перед падением, нам необходимо узнать только её вертикальную составляющую, так как горизонтальная у нас постоянна. Мы можем проследить, как менялась вертикальная составляющая скорости, вдоль оси Оу мяч двигался равноускоренно, забираясь на максимальную высоту дуги вертикальная составляющая падала до нуля, а после, до той же высоты 5.3м, с которой его бросили, мяч падал то же время с тем же ускорением, а значит и разогнался обратно от нуля до вертикальной составляющей вектора начальной скорости.
Далее, начиная с этого момента, мяч продолжает падать с высоты 5.3 м с данной начальной скорость, для которой мы ввели новое обозначение. Чтобы выяснить до какой скорости по вертикали он сможет разогнаться, нам необходимо знать оставшееся время падения, поэтому снова обратимся к уравнению равноускоренного движения вдоль оси Оу:

\begin{array}{l} O y : s_{y} = v_{0 y}^{'} \cdot t_{2} + \frac{a_{y} \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ H_{0} = v_{0 y}^{'} \cdot t_{2} + \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ 5.3 м = 10.04 м / с \cdot t_{2} + \frac{10 м / с^{2} \cdot t_{2}^{2}}{2} \\ ⟹ 5 \cdot t_{2}^{2} + 10.04 \cdot t_{2} - 5.3 = 0 \\ t_{2} \approx 0.43 с \end{array}

(заметим, что в этот раз нам пришлось решить квадратное уравнение, чтобы вычислить длительность падения тела с высоты 5.3 метров, очевидно, что мы отбросили второй отрицательный корень этого уравнения)
Теперь, когда мы знаем оставшееся время падения, мы можем вычислить вертикальную составляющую конечной скорости, для этого воспользуемся определением ускорения:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ \\ ⟹ v_{y} = v_{0 y}^{'} + g \cdot t_{2} = 10.04 м / с + 10 м / с^{2} \cdot 0.43 с = 14.34 м / с \end{array}

Зная вертикальную составляющую вектора скорости и тот факт, что вдоль оси Ох тело всё это время двигалось равномерно, можем вычислить конечную скорость мяча по теореме Пифагора:

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{{11.15}_{}^{2} + {14.34}_{}^{2}} \approx 18.2 м / с

Ответ: 18,2 м/с

Задача № 10

В данном случае мяч поймал болельщик на трибуне. Представим, что отбивающий ударил по мячу, придав ему начальную скорость 41м/с под углом 47° к горизонту. Когда болельщик поймал мяч, его вертикальная скорость была 11м/с. Нужно найти, на какой высоте находился болельщик по сравнению с уровнем поля в этот момент.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0} = 41 м / с \\ v_{y} = 11 м / с \\ α = 47 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ H = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенными формулами горизонтальной и вертикальной составляющими вектора скорости:

\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cdot c o s α = 41 м / с \cdot c o s 47 ° \approx 27.96 м / с \\ v_{0 y} = v_{0} \cdot s i n α = 41 м / с \cdot s i n 47 ° \approx 29.99 м / с \end{array}

Далее рассмотрим две возможные ситуации, а в конце выберем верную с учетом правил расположения поля и игроков в бейсболе: 1) После удара мяч долетел до трибун, не успев достигнуть максимальной высоты: С учетом уже известных данных и определения ускорения найдем время, которое потребовалось отбитому мячу, чтобы замедлиться до данной вертикальной скорости:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ \\ ⟹ Δ t = \frac{Δ v}{a} = \frac{v_{y} - v_{0 y}}{- g} ⟹ t_{1} = \frac{11 м / с - 29.99 м / с}{- 10 м / с^{2}} \approx 1.9 с \end{array}

Теперь нам все известно, чтобы вычислить пройденный мячом путь вдоль оси Оу (высоты, на которой теоретически болельщик мог поймать мяч с данной вертикальной скоростью), воспользуемся уравнением равноускоренного движения (равнозамедленного, так как ускорение и скорость в данном случае разнонаправленны):

\begin{array}{l} O y : s_{y} = v_{0 y}^{} \cdot t_{1} - \frac{a_{y} \cdot t_{1}^{2}}{2} ⟹ \\ ⟹ H_{1} = v_{0 y}^{} \cdot t_{2} - \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = 29.99 м / с \cdot 1.9 с - \frac{10 м / с^{2} \cdot (1.9 с)_{}^{2}}{2} = 38.931 м \end{array}

2) После удара мяч достиг максимальной высоты и болельщик с трибуны уже поймал падающий с этой высоты мяч: Для второй ситуации нам для начала необходимо вычислить максимальную высоту, на которой вертикальная составляющая вектора скорости становится равная нулю. С данной высоты, соответственно мяч начинает падать на трибуну, где его и поймали: Воспользуемся уже готовой, раннее нами выведенной формулой максимальной высоты:

H_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n^{2} α}{2 \cdot g} = \frac{(41 м / с)_{}^{2} \cdot s i n^{2} 47 °}{2 \cdot 10 м / с^{2}} \approx 44.96 м

Далее вычислим время, которое потребовалось мячу, чтобы с нулевой вертикальной составляющей скорости разогнаться до значения в 11 м/с, снова воспользуемся определением ускорения:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ \\ ⟹ Δ t = \frac{Δ v}{a} = \frac{v_{y} - v_{0 y}}{g} ⟹ t_{2} = \frac{11 м / с - 0 м / с}{10 м / с^{2}} \approx 1.1 с \end{array}

Теперь, когда нам известная новая начальная скорость (0 м/с), ускорение и время, мы можем вычислить пройденный мячом путь вдоль оси Оу:

\begin{array}{l} O y : s_{y} = v_{0 y}^{'} \cdot t_{2} + \frac{a_{y} \cdot t_{2}^{2}}{2} \\ v_{0 y}^{'} = 0 м / с \\ ⟹ s_{y} = \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} = \frac{10 м / с^{2} \cdot (1.1 с)_{}^{2}}{2} = 6.05 м \end{array}

А зная с какой высоты он падал и какое расстояние успел пройти до данного значения вертикальной составляющей скорости, можем легко ответить на поставленный вопрос:

H_{2} = H_{m a x} - s_{y} = 44.96 м - 6.05 м = 38.91 м

*Теперь давайте для интереса рассчитаем максимальную дальность полета, разделив ее пополам мы получим на каком удалении от отбивающего мяч достигнет максимальной высоты:

\begin{array}{l} L = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n 2 α}{g} = \frac{(41 м / с)_{}^{2} \cdot s i n 94 °}{10 м / с^{2}} \approx 167.7 м \\ \frac{L}{2} = 83.85 м \end{array}

Размеры дальнего поля: Размеры дальнего поля могут варьироваться от одного стадиона к другому, но обычно они варьируются от 325 до 450 футов (от 99 до 137 метров) от домашней площадки до ограждения дальней части поля в центральной части поля. С учетом наших расчетов и информации об обычных размерах бейсбольного поля можно сделать вывод, что 1ый случай отпадает, т.к. мяч достигнет своей максимальной высоты полета еще до того, как вылетит за пределы игрового поля :)

Ответ: 38,93 м

Задача № 11

Самолет совершал полет на высоте 1.5·10³ метров со скоростью 138 м/с, когда одно из его шасси отвалилось. а) Сколько времени пройдёт с этого момента до падения шасси на поверхность земли? б) Какой горизонтальный путь проделает шасси до падения? в) Какая скорость будет у шасси в момент касания земли?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} h = 1500 м \\ v_{0} = v_{0 x} = 138 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ α = 0 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ а) t = ? \\ б) L = ? \\ в) v = ? \end{array}

Решение:

Введем координатные оси OY и Ох (как показано на рисунке) и запишем уравнения движения шасси в проекциях на эти оси после того, как оно отвалилось:

\begin{array}{l} O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1) \\ O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2) \end{array}

Далее с учетом известных величин преобразуем (2) уравнение и выразим время для того, чтобы вычислить его:

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1500 м}{10 м / с^{2}}} \approx 17.32 с

После того, как нам стало известно время, мы можем легко вычислить пройденный телом путь вдоль горизонтальной оси Ох, подставив все известное в (1) уравнение:

и з (1) ⟹ s_{x} = L = 138 м / с \cdot 17.32 с = 670.355 м \approx 2390 м

Для того, чтобы вычислить скорость шасси перед падением, нам необходимо узнать вертикальную составляющую вектора скорости в данный момент (а горизонтальная нам уже известна, так как вдоль оси Ох шасси двигалось равномерно, то есть с постоянной скоростью), поэтому воспользуемся определением ускорения:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ v_{y} - v_{0 y} = a \cdot Δ t \\ ⟹ v_{y} = v_{0 y} + a \cdot t ⟹ v_{y} = g \cdot t = 10 м / с^{2} \cdot 17.32 с \approx 173.2 м / с \end{array}

Теперь мы можем вычислить скорость шасси перед касанием поверхности земли с помощью теоремы Пифагора:

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{(138 м / с)_{}^{2} + (173.2 м / с)_{}^{2}} \approx 221.46 м / с

Ответ: а) 17,32 с б) 2390 м в) 221,46 м/с

Задача № 12

Бэтмен преследовал преступников и в один момент ему потребовалось перепрыгнуть с одной крыши на другую. Расстояние между зданиями 10 метров, а крыша второго здания была на 5 метров ниже крыши первого. С какой минимальной скоростью в момент прыжка должен был бежать бэтмен, чтобы удачно перепрыгнуть. Предполагается, что для экономии времени он прыгнул горизонтально.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} L = 10 м \\ h = 5 м \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ α = 0 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{0 x} = ? \end{array}

Решение:

Введем координатные оси OY и ОX (как показано на рисунке) и запишем уравнения движения бэтмена в проекциях на эти оси после того, как он прыгнул:

\begin{array}{l} O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1) \\ O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2) \end{array}

Далее с учетом известных величин преобразуем (2) уравнение и выразим время для того, чтобы вычислить его:

и з (2) ⟹ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5 м}{10 м / с^{2}}} \approx 1 с

Теперь зная время, за которое бэтмен преодолеет расстояние по вертикали с одной крыши на другую, мы можем вычислить начальную скорость, выразив её и подставив всё известное в первое уравнение:

и з (1) ⟹ v_{0 x} = \frac{s_{x}}{t} = \frac{L}{t} = \frac{10 м}{1 с} = 10 м / с

Ответ: 10 м/с

Задача № 13

Снайпер выстрелил в горизонтальном направлении. Пуля вылетела из дула винтовки горизонтально со скоростью 300 м/с. Из затвора вылетела гильза и спустя некоторое время коснулась земли со скоростью 5 м/с. Чему равнялась вертикальная составляющая пули в момент, когда ?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0} = 300 м / с \\ v_{0 y} = 0 м / с \\ u = 5 м / с \\ u_{0} = 0 м / с \\ α = 0 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{y} = ? \end{array}

Решение:

Так как гильза выпала, а пуля была выпущена горизонтально, то их вертикальные составляющие начальной скорости были равны 0 м/с. Тогда используем определение ускорения, чтобы вычислить время, за которое гильза успела разогнаться до 5 м/с:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ \\ ⟹ v - v_{0} = a \cdot t ⟹ v = v_{0} + a \cdot t \\ u = u_{0} + g \cdot t_{1} ⟹ t_{1} = \frac{u}{g} = \frac{5 м / с}{10 м / с^{2}} = 0.5 с \end{array}

Далее мы можем вычислить пройденный гильзой путь вдоль вертикальной оси Оу равноускоренно:

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t_{1} + \frac{a_{y} \cdot t_{1}^{2}}{2} ⟹ h = \frac{g \cdot t_{1}^{2}}{2} = \frac{10 м / с^{2} \cdot (0.5 с)^{2}}{2} = 1.25 м

Если теперь нам известно расстояние между ружьем и поверхностью земли, то мы можем рассчитать путь, пройденный пулей вдоль вертикальной оси Оу, пользуясь той же формулой:

h = \frac{g \cdot t_{2}^{2}}{2} ⟹ t_{2} = t_{1}

Отсюда становится очевидно, что длительность падения гильзы и полета пули равняются, а значит мы можем рассчитать вертикальную составляющую конечной скорости пули:

v_{y} = v_{0 y} + a \cdot t ⟹ v_{y} = g \cdot t = 10 м / с^{2} \cdot 0.5 с = 5 м / с

* Можно было сразу предположить, что у пули и гильзы они будут равняться, так как расстояние между ружьем и поверхностью земли для пули и гильзы одинаковые и всё это происходило одновременно. Однако, благодаря выводу формул и выполненным вычислениям мы наглядно это доказали, хоть интуитивно это может казаться невероятным, просто пуля упадет за много метров от снайпера, но приземляться они практически одновременно.

Ответ: 5 м/с

Задача № 14

Цирковой трюкач был запущен как пушечное ядро над колесом обозрения с начальной скоростью 24.8 м/с под углом к горизонту 30°. а) Где следуют расположить сеть для приземления? б) Какой максимальной высоты могло быть колесо обозрения, если находилось ровно по середине между пушкой и сетью?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} v_{0} = 24.8 м / с \\ α = 30 ° \\ g = 10 м / с^{2} \\ L = ? \\ H_{m a x} = ? \end{array}

Решение:

Чтобы дать ответы на поставленные вопросы, нам достаточно использовать выведенные нами формулы и вычислить максимальную высоту полета и дальность приземления:

L = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n 2 α}{g} = \frac{(24.8 м / с)_{}^{2} \cdot s i n 60 °}{10 м / с^{2}} \approx 53.26 м

Сеть следуют расположить именно на таком удалении.

H_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n^{2} α}{2 \cdot g} = \frac{(24.8 м / с)_{}^{2} \cdot s i n^{2} 30 °}{2 \cdot 10 м / с^{2}} \approx 7.688 м

Колесо обозрения должно быть ниже максимальной высоты полета.

Ответ: а) 53,26 м б) ниже 7,688 м

Задача № 15

Предмет брошен в воздух с крыши здания под углом к горизонту 28° с начальной скоростью 15 м/с . Какой высоты было здание, если известно, что место приземления находилось в 32 метрах от него?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 28 ° \\ v_{0} = 15 м / с \\ L = 32 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ h = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенными формулами горизонтальной и вертикальной составляющими вектора скорости:

\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cdot \cos α = 15 м / с \cdot c o s 28 ° \approx 13.24 м / с \\ v_{0 y} = v_{0} \cdot s i n α = 15 м / с \cdot s i n 28 ° \approx 7.04 м / с \end{array}

Используя равнее выведенную нами формулу дальности полета под углом к горизонту мы можем вычислить, как далеко сможет улететь предмет от здания, но лишь снова достигнув высоты крыши:

l_{1} = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n 2 α}{g} = \frac{(15 м / c)_{}^{2} \cdot s i n 56 °}{10 м / с^{2}} \approx 18.65 м

Учтём новую и уже имеющуюся информацию и вычислим расстояние, которое пролетит предмет вдоль оси Ох после симметричной дуги траектории полёта:

Δ l = L - l_{1} = 13.35 м

Далее мы можем выяснить как долго падал предмет после этого момента используя уравнение движения в проекциях на ось Ох, которое будет равномерным:

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t ⟹ t = \frac{s_{x}}{v_{0 x}} = \frac{Δ l}{v_{0 x}} = \frac{13.35 м}{13.24 м / с} \approx 1 с

Основываясь на прошлом опыте и ранее выведенных формулах мы можем сделать вывод о том, что вертикальная составляющая скорости в конце дуги равняется вертикальной составляющей начальной скорости

O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t ⟹ t = \frac{s_{x}}{v_{0 x}} = \frac{Δ l}{v_{0 x}} = \frac{13.35 м}{13.24 м / с} \approx 1 с

А значит нам достаточно известно для того, чтобы вычислить высоту падения предмета после этой дуги (расстояние пройденно равноускоренно вдоль оси Оу или что то же самое - высоту здания):

O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} ⟹ h = u_{0 y} \cdot t + \frac{g \cdot t^{2}}{2} = 7.04 м / с \cdot 1 с + \frac{10 м / с^{2} \cdot (1 с)^{2}}{2} = 12.04 м

Ответ: 12,04 м

Задача № 16

Вы бросаете мяч с крыши своего гаража, расположеной на высоте 5.8 метров, под углом к горизонту 24° со скоростью 18 м/с. Определите: а) Время полета. б) Дальность полета. в) Максимальную высоту полета. г) Скорость мяча в момент, когда он находился выше крыши на 2 метра. д) Под каким углом мяч коснулся земли.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α_{0} = 24 ° \\ v_{0} = 18 м / с \\ h_{0} = 5.8 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ h = 7.8 м \\ T = ? \\ L = ? \\ h_{m a x} = ? \\ v (h = 7.8 м) = ? \\ α = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся ранее выведенной формулой максимальной высоты полета тела, брошенного под углом к горизонту, таким образом мы найдем на какую высоту заберется тело над уровнем крыши гаража, а далее останется только прибавить высоту крыши и мы получим максимальную высоту, на которую сможет забраться тело в этой задаче:

\begin{array}{l} H_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n^{2} α}{2 \cdot g} = \frac{(18 м / с)_{}^{2} \cdot s i n^{2} 24 °}{2 \cdot 10 м / с^{2}} \approx 2.68 м \\ h_{m a x} = H_{m a x} + h_{0} = 2.68 м + 5.8 м = 8.48 м \end{array}

Далее по готовой формуле найдем время, за которое тело совершит симметричную дугу и вернется на уровень высоты крыши:

t_{1} = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot s i n α}{g} = \frac{2 \cdot 18 м / с \cdot s i n 24 °}{10 м / с^{2}} \approx 1.46 с

Найдем горизонтальную и вертикальную составляющие начальной скорости:

\begin{array}{l} u_{0 y} = v_{0 y} = v_{0} \cdot s i n α = 18 м / с \cdot s i n 24 ° \approx 7.32 м / с \\ v_{0 x} = v_{0} \cdot c o s α = 18 м / с \cdot c o s 24 ° \approx 16.44 м / с \end{array}

(Заметим, что мы ввели новое дополнительное обозначение для вертикальной составляющей начальной скорости, это вертикальная составляющая скорости в конце симметричной дуги, когда тело снова достигло высоты крыши, как мы уже говорили об этом раньше, она нам понадобится, т.к. тело продолжит падать, пока не пройдет всю высоту крыши вдоль оси Оу) Теперь нам нужно понять, сколько еще по времени будет лететь тело, проходя это расстояние, равное высоте крыши, вдоль оси Оу. Для этого воспользуемся уравнением равноускоренного движения:

\begin{array}{l} h_{0} = u_{0 y} \cdot t_{2} + \frac{g \cdot {t_{2}}^{2}}{2} ⟹ 5.8 = 7.32 \cdot t_{2} + 5 \cdot {t_{2}}^{2} \\ 5 \cdot {t_{2}}^{2} + 7.32 \cdot t_{2} - 5.8 = 0 \\ t_{2} \approx 0.57 с \end{array}

(Заметим, что нам пришлось решить квадратное уравнение, и по очевидным причинам мы откидываем отрицательный корень) После того как нам стало известно время движение для этих двух случаев, на которые мы специально разбили полет данного тела, мы можем сложить их и вычислить длительность всего полета, а также с известной горизонтальной составляющей начальной скорости, которая не менялась, так как вдоль оси Ох тело движется равномерно, найти дальность полета:

\begin{array}{l} T = t_{1} + t_{2} = 2.03 с \\ L = v_{0 x} \cdot T = 16.44 м / с \cdot 2.03 с \approx 33.38 м \end{array}

Для того, чтобы вычислить скорость на высоте 2м над уровнем крыши, нам необходимо знать как долго тело забиралось на эту высоту:

\begin{array}{l} O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t - \frac{a_{y} \cdot t_{}^{2}}{2} ⟹ h - h_{0} = v_{0 y} \cdot t - \frac{g \cdot t_{}^{2}}{2} \\ 2 = 7.32 \cdot t + 5 \cdot t^{2} \\ 5 \cdot t^{2} + 7.32 \cdot t - 2 = 0 \\ t \approx 0.24 c \end{array}

Зная время, мы можем использовать определение ускорения и определить значение вертикальной составляющей искомой скорости на этой высоте, а после, с помощью теоремы Пифагора, найти значение искомой скорости:

\begin{array}{l} a = \frac{Δ v}{Δ t} = \frac{v - v_{0}}{t} ⟹ Δ v = a \cdot Δ t ⟹ v_{y} - v_{0 y} = a \cdot Δ t \\ ⟹ v_{y} = v_{0 y} + a \cdot t ⟹ v_{y} = v_{0 y} - g \cdot t = 7.32 м / с - 10 м / с^{2} \cdot 0.24 c \approx 4.92 м / с \\ v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} ⟹ v (h = 7.8 м) = \sqrt{(16.44 м / с)_{}^{2} + (4.92 м / с)_{}^{2}} = 17.16 м / с \end{array}

Аналогично поступим, чтобы найти вертикальную составляющую и полный вектор скорости тела в момент приземления, далее воспользуемся определением синуса и вычислим его, после чего останется только на калькуляторе определить синус какого угла равен полученному значению:

\begin{array}{l} v_{y} = v_{0 y} + a \cdot t ⟹ v_{y} = u_{0 y} + g \cdot t_{2} = 7.32 м / с + 10 м / с^{2} \cdot 0.57 с \approx 13.02 м / с \\ v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{(16.44 м / с)_{}^{2} + (13.02 м / с)_{}^{2}} \approx 20.97 м / с \\ s i n α = \frac{v_{y}}{v} = \frac{13.02 м / с}{20.97 м / с} \approx 0.62 ⟹ α \approx 38.4 ° \end{array}

Ответ: а) 2,03 с б) 33,38 м в) 8,48 м г) 17,16 м/с д) 38,4

Задача № 17

В бейсболе есть понятие хоумран. Это когда отбивающий игрок (тот, кто бьёт по мячу битой) выбивает мяч так далеко, что его не могут поймать защитники, и он перелетает через ограждения поля. Отбивающий игрок бьёт по бейсбольному мячу, придавая ему начальную скорость 58 м/с под углом 37° к горизонту. Получится ли сделать хоумран, если высота сетки 3.15 метров, а находится она в 323 метрах от отбивающего?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 37 ° \\ v_{0} = 58 м / с \\ h = 3.15 м \\ l = 323 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ Хоумран = ? \end{array}

Решение:

Воспользуемся раннее выведенной формулой для максимальной дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту, чтобы понять на каком удалении от игрока мяч приземлиться (если принебречь высотой, на которой он отбивает мяч):

\begin{array}{l} L = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n 2 α}{g} = \frac{(58 м / с)_{}^{2} \cdot s i n 74 °}{10 м / с^{2}} \approx 323.36 м \\ l < L \end{array}

Получается, что сетка находится ближе, чем предполагаемое место падения мяча, а значит он не сможет её перелететь. (Заметим, что даже при условии расчёта дальности полета от высоты, на которой отбивается мяч, до достижения той же высоты, не существует человека такого роста, чтобы отбить мяч на высоте большей, чем 3.15 м)

Ответ: нет

Задача № 18

Лучник выпустил стрелу массой 4 г под углом 65° к горизонту с начальной скоростью 40 м/с. Определите: а) Высоту и дальность полета стрелы через 2 секунды после выстрела. б) Высоту и дальность полета стрелы через 6 секунд после выстрела.

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} m = 4 г \\ α = 65 ° \\ v_{0} = 40 м / с \\ g = 10 м / с^{2} \\ l (t = 2 c) = ? \\ h (t = 2 c) = ? \\ l (t = 6 c) = ? \\ h (t = 6 c) = ? \end{array}

Решение:

Вычислим вертикальную и горизонтальную составляющие начальной скорости и длительность всего полета по ранее выведенным нами формулам:

\begin{array}{l} v_{0 x} = v_{0} \cdot c o s α = 40 м / с \cdot c o s 65 ° \approx 16.91 м / с \\ v_{0 y} = v_{0} \cdot s i n α = 40 м / с \cdot s i n 65 ° \approx 36.25 м / с \end{array}

T = \frac{2 \cdot v_{0} \cdot s i n α}{g} = \frac{2 \cdot 40 м / с \cdot s i n 65 °}{10 м / с^{2}} \approx 7.25 с ⟹ t_{1} = t_{2} = 3.625 с

(Заметим, что моменты времени полета 2с и 6с находятся по разные стороны оси симметрии траектории полета стрелы) Далее запишем уравнения движение в проекциях на оси Ох и Оу:

\begin{array}{l} O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1) \\ O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2) \end{array}

С учетом того, что вдоль оси Ох стрела двигалась равномерно, мы можем рассчитать искомые пройденные стрелой горизонтальные пути:

\begin{array}{l} И з (1) ⟹ l (t = 2 c) = v_{0 x} \cdot t = 16.91 м / с \cdot 2 с \approx 33.82 м \\ l (t = 6 c) = v_{0 x} \cdot t = 16.91 м / с \cdot 6 с \approx 101.46 м \end{array}

Благодаря найденным ранее величинам вычислим высоту полета стрелы через 2с:

И з (2) ⟹ h (t = 2 c) = v_{0 y} \cdot t - \frac{g \cdot t^{2}}{2} = 36.25 м / с \cdot 2 с - \frac{10 м / с^{2} \cdot (2 с)^{2}}{2} = 52.5 м

Для того, чтобы вычислить высоту полета стрелы через 6с, нам необходимо по выведенной ранее формуле вычислить максимальную высоту полета стрелы, а затем после достижения этой высоты (через 3.625 секунд) стрела начнет падать (двигаться равноускоренно с нулевой начальной вертикальной скоростью) в течение еще 2.375 секунд:

\begin{array}{l} H_{m a x} = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n^{2} α}{2 \cdot g} = \frac{(40 м / с)_{}^{2} \cdot s i n^{2} 65 °}{2 \cdot 10 м / с^{2}} \approx 72.51 м \\ Δ t = 6 c - 3.625 с = 2.375 с \\ И з (2) ⟹ s_{y} = \frac{g \cdot Δ t^{2}}{2} = \frac{10 м / с^{2} \cdot (2.375 с)^{2}}{2} = 52.5 м \\ Т о г д а h (t = 6 c) = H_{m a x} - s_{y} = 72.51 м - 52.5 м \approx 20 м \end{array}

Ответ: а) 33,82 м и 52,5 м б) 101,46 м и 20 м

Задача № 19

Определите начальную скорость V˳. (см. Рисунок 20)

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 50 ° \\ L = 45 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{0} = ? \end{array}

Решение:

Запишем ранее выведенное уравнение дальности полета тела брошенного под углом к горизонту и выведем отсюда формула для расчета начальной скорости:

\begin{array}{l} L = \frac{v_{0}^{2} \cdot s i n 2 α}{g} ⟹ v_{0}^{2} = \frac{L \cdot g}{s i n 2 α} ⟹ v_{0} = \sqrt{\frac{L \cdot g}{s i n 2 α}} = \sqrt{\frac{45 м \cdot 10 м / с^{2}}{s i n 100 °}} \approx 21.4 м / с \end{array}

Ответ: 21,4 м/с

Задача № 20

Ваш друг стоит на доске, как показано на рисунке. Он стреляет в вас из своего водяного пистолета и попадает вам в спину. Чему равнялась скорость воды, покидающей дуло пистолета в момент выстрела?

В ответ введите результат вычислений, при необходимости округлите до сотых:

Правильный ответ

Дано:

\begin{array}{l} α = 0 ° ⟹ v_{0 y} = 0 м / с \\ l = 2.1 м \\ h_{0} = 1.6 м \\ h = 0.93 м \\ g = 10 м / с^{2} \\ v_{0} = v_{0 x} = ? \end{array}

Решение:

Запишем ранее выведенное уравнение дальности полета тела брошенного под углом к горизонту и выведем отсюда формула для расчета начальной скорости: Запишем уравнения движения в проекциях на оси Ох и Оу:

\begin{array}{l} O x : s_{x} = v_{0 x} \cdot t (1) \\ O y : s_{y} = v_{0 y} \cdot t + \frac{a_{y} \cdot t^{2}}{2} (2) \end{array}

С учетом дано из вертикального равноускоренного движения вычислим время полета воды:

и з (2) ⟹ s_{y} = Δ h = \frac{g \cdot t^{2}}{2} ⟹ t^{2} = \frac{2 \cdot Δ h}{g} ⟹ t = \sqrt{\frac{2 \cdot Δ h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.67 м}{10 м / с^{2}}} \approx 0.37 с

А зная время и дальность полета по горизонтали можем легко вычислить горизонтальную составляющую начальной скорости, она начальная скорость:

и з (1) ⟹ v_{0 x} = \frac{s_{x}}{t} = \frac{l}{t} = \frac{2.1 м}{0.37 с} = 5.74 м / с

Ответ: 5,74 м/с

Полет под углом к горизонту в школьной программе

Этот тип движения изучается в курсе физики 10-го класса и входит в программу ЕГЭ и олимпиад. Ученики должны понимать, как разложить начальную скорость на компоненты, работать с уравнениями движения по осям, знать законы сохранения энергии и импульса.

Задачи на движение тела под углом к горизонту

Полет под углом к горизонту - теория и формулы

Движение тела брошенного под углом к горизонту с уровня земли

Движение вдоль вертикальной оси

Движение вдоль горизонтальной оси

Задачи на горизонтальный бросок с высоты

Общие принципы решения задач

Основные формулы для решения задач на движение под углом к горизонту

Бросок с уровня земли:

Бросок горизонтально с некоторой высоты:

Виды задач на движение тела, брошенного под углом к горизонту с решениями:

Движение под углом к горизонту - задачи с решениями

Задача № 1

Решение:

Задача № 2

Решение:

Задача № 3

Решение:

Задача № 4

Решение:

Задача № 5

Решение:

Задача № 6

Решение:

Задача № 7

Решение:

Задача № 8

Решение:

Задача № 9

Решение:

Задача № 10

Решение:

Задача № 11

Решение:

Задача № 12

Решение:

Задача № 13

Решение:

Задача № 14

Решение:

Задача № 15

Решение:

Задача № 16

Решение:

Задача № 17

Решение:

Задача № 18

Решение:

Задача № 19

Решение:

Задача № 20

Решение:

Полет под углом к горизонту в школьной программе

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

Сохранение ответов

Добавление формул в избранное

Полный доступ к базе задач

Подборка задач по всем формулам и темам

Задачи с полноценными решениями

Персональный план подготовки