Формулы сокращенного умножения

ко всем темам

Список тем

Список тем

Формулы сокращенного умножения - теория, формулы и практика

Свойства степеней с натуральным основанием

Прогрессии

Таблица квадратов натуральных чисел

В данной статье рассматриваются формулы сокращенного умножения (ФСУ), основные свойства и области применения формул.

Определение формул

Формулы сокращенного умножения - это набор математических правил, которые позволяют быстро и просто вычислять произведения выражений без необходимости выполнять полное разложение. Они основаны на свойствах степеней и умножения, а их знание значительно упрощает многие алгебраические задачи.

ФСУ - важные инструменты для упрощения алгебраических выражений и решения уравнений. Их изучают в 7-8 классах и они часто встречаются на экзаменах, таких как ОГЭ, ВПР и ЕГЭ по математике. Вся программа алгебры, после прохождения ФСУ - будет так или иначе связана с формулами, поэтому выучить их - первое, что нужно сделать при подготовке к экзаменам.

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Квадрат суммы

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Квадрат разности

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Куб суммы

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Куб разности

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Сумма кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Разность кубов

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Рассмотрим каждую формулу сокращенного умножения отдельно на примере задач на раскрытие формул и на сворачивание обратно в формулу

Квадрат суммы

Квадрат суммы — это формула для возведения суммы двух выражений в квадрат.

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Пример задачи (Квадрат суммы)

Упростите выражение: ${(2 x + 3 y)}^{2}$

Используем формулу квадрата суммы:

${(2 x + 3 y)}^{2} = {(2 x)}^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 3 y + {(3 y)}^{2} = 4 x^{2} + 12 x y + 9 y^{2}$

Обратный пример (свернуть в формулу)

Сверните выражение в квадрат суммы: $9 a^{2} + 24 a b + 16 b^{2}$

Используем обратную формулу:

$9 a^{2} + 24 a b + 16 b^{2} = {(3 a)}^{2} + 2 \cdot 3 a \cdot 4 b + {(4 b)}^{2} = {(3 a + 4 b)}^{2}$

Квадрат разности

Квадрат разности — это формула для возведения разности двух выражений в квадрат.

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Пример задачи (Квадрат разности)

Упростите выражение: ${(5 m - 2 n)}^{2}$

Используем формулу квадрата разности:

${(5 m - 2 n)}^{2} = {(5 m)}^{2} - 2 \cdot 5 m \cdot 2 n + {(2 n)}^{2} = 25 m^{2} - 20 m n + 4 n^{2}$

Обратный пример (свернуть в формулу)

Сверните выражение в квадрат разности: $16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2}$

Используем обратную формулу:

$16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2} = {(4 x)}^{2} - 2 \cdot 4 x \cdot 5 y + {(5 y)}^{2} = {(4 x - 5 y)}^{2}$

Разность квадратов

Разность квадратов — это формула для разложения на множители разности квадратов двух выражений.

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

Пример задачи (Разность квадратов)

Разложите на множители: ${(3 p)}^{2} - {(7 q)}^{2}$

Используем формулу разности квадратов:

${(3 p)}^{2} - {(7 q)}^{2} = (3 p + 7 q) \cdot (3 p - 7 q)$

Обратный пример (свернуть в формулу)

Сверните выражение в произведение: $(5 x + 2 y) \cdot (5 x - 2 y)$

Используем обратную формулу:

$(5 x + 2 y) \cdot (5 x - 2 y) = {(5 x)}^{2} - {(2 y)}^{2} = 25 x^{2} - 4 y^{2}$

Куб суммы

Куб суммы — это формула для возведения суммы двух выражений в куб.

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Пример задачи (Куб суммы)

Упростите выражение: ${(2 x + y)}^{3}$

Используем формулу куба суммы:

${(2 x + y)}^{3} = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} y + 3 \cdot 2 x \cdot y^{2} + y^{3} = 8 x^{3} + 12 x^{2} y + 6 x y^{2} + y^{3}$

Обратный пример (свернуть в формулу)

Сверните выражение в куб суммы: $a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3}$

Используем обратную формулу:

$a^{3} + 6 a^{2} b + 12 a b^{2} + 8 b^{3} = a^{3} + 3 a^{2} (2 b) + 3 a {(2 b)}^{2} + {(2 b)}^{3} = {(a + 2 b)}^{3}$

Куб разности

Куб разности — это формула для возведения разности двух выражений в куб.

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Пример задачи (Куб разности)

Упростите выражение: ${(3 m - 2 n)}^{3}$

Используем формулу куба разности:

${(3 m - 2 n)}^{3} = {(3 m)}^{3} - 3 {(3 m)}^{2} (2 n) + 3 \cdot 3 m \cdot {(2 n)}^{2} - {(2 n)}^{3} = 27 m^{3} - 54 m^{2} n + 36 m n^{2} - 8 n^{3}$

Обратный пример (свернуть в формулу)

Сверните выражение в куб разности: $64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3}$

Используем обратную формулу:

$64 x^{3} - 48 x^{2} y + 12 x y^{2} - y^{3} = {(4 x)}^{3} - 3 {(4 x)}^{2} y + 3 \cdot 4 x \cdot y^{2} - y^{3} = {(4 x - y)}^{3}$

История возникновения формул сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения впервые начали формулироваться в работах древних математиков:

В Древней Индии математики, такие как Арьябхата (V век) и Брахмагупта (VII век), изучали квадратные и другие уравнения. Их работы содержат принципы, близкие к современным формулам.
В Древней Греции Евклид (IV век до н. э.) описывал геометрические аналогии для произведений, которые по сути являются прототипами формул вроде квадрата суммы. Он объяснял эти закономерности через площади геометрических фигур.

Наиболее существенный вклад в развитие алгебры, включая формулы сокращённого умножения, сделали арабские учёные, в частности Аль-Хорезми (IX век). Он создал систему записи алгебраических выражений, которая позволила проще описывать и применять эти формулы. В его книге "Китаб аль-Мухтарар" описаны методы работы с квадратами и суммами.

В XIII веке Фибоначчи популяризировал арабскую и древнегреческую алгебру в Европе. Его работы дали начало систематическому использованию формул, схожих с сокращённым умножением. В XVI веке Франсуа Виет разработал символическую алгебру, сделав возможным выражение формул в компактной форме.

Применение ФСУ на экзаменах (ОГЭ, ЕГЭ, ВПР)

Формулы сокращённого умножения часто встречаются в заданиях на экзаменах. В ОГЭ по математике они встречаются в заданиях на преобразование выражений и решение уравнений, аналогично в ЕГЭ и ВПР. Они позволяют упростить решения и быстрее прийти к правильному ответу.

Заключение

Знание формул сокращённого умножения помогает успешно решать задачи на школьных экзаменах, а также развивает навыки быстрого и точного преобразования выражений. Регулярная практика и решение типовых задач гарантируют успешное усвоение этих формул.

Решите примеры на формулы сокращенного умножения в тренажёрах:

8 задание ОГЭ по математике

Задачи на формулы сокращенного умножения

Применение ФСУ в сложных задачах

Попробуйте применить ФСУ в сложных задачах с квадратными корнями

Тренажер на разность квадратов

Генератор примеров с корнями и применением формулы разности квадратов

Формулы сокращённого умножения

Определение формул