Арифметическая и геометрическая прогрессии, формулы, задачи в ОГЭ

ко всем темам

Список тем

Список тем

Формулы сокращенного умножения - теория, формулы и практика

Свойства степеней с натуральным основанием

Прогрессии

Таблица квадратов натуральных чисел

Арифметическая и геометрическая прогрессии — важные математические темы, изучаемые в 9-11 классах и используемые для решения задач на ОГЭ, ВПР и ЕГЭ по математике. На этой странице представлены основные формулы арифметической и геометрической прогрессий, задачи и практическое применение.

Арифметическая прогрессия: Формулы и примеры

Арифметическая прогрессия изучается в 9-10 классах. Задачи на неё встречаются в экзамене после 9 класса - ОГЭ по математике. На прогрессии направлено 14 задание, где нужно найти неизвестный член прогрессии или сумму нескольких членов. Также задачи на прогрессии могут быть в ВПР за 11 класс и иногда встречаются в ЕГЭ.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

a_{n} = a_{1} + d \cdot (n - 1)

Где:

a_n — n-й член последовательности,
a₁ — первый член последовательности,
d — разность прогрессии.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a_{1} + d \cdot (n - 1)}{2} n

Практическое использование арифметической прогрессии

Допустим, вы планируете отложить деньги на покупку нового смартфона, добавляя каждый месяц одну и ту же сумму. Если вы откладываете 1000 рублей каждый месяц, то через полгода у вас накопится:

Сумма арифметической прогрессии с постоянной добавочной суммой (разностью) в 1000 рублей:

$S_{6} = \frac{6 (1000 + 6000)}{2} = 21000 рублей$

Нашли ошибку на сайте?
Напишите нам, будем очень благодарны

Геометрическая прогрессия: Формулы и примеры

Геометрическая прогрессия также изучается в 9-10 классах и встречается в заданиях повышенной сложности на ЕГЭ и в олимпиадных задачах. В ОГЭ задачи на геометрическую прогрессию обычно не включаются, но они могут появиться в сложных ВПР за 11 класс.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

b_{n} = b_{1} \cdot q^{n-1}

Где:

b_n — n-й член последовательности,
b₁ — первый член последовательности,
q — знаменатель прогрессии (отношение между членами).

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

S_{n} = \frac{b_{1} (q_{n} - 1)}{q - 1}

Пример из жизни (Геометрическая прогрессия)

Представьте, что вы вложили деньги в акции, и они удваиваются каждый год. Если вы вложили 10 000 рублей, то через три года сумма увеличится до:

$S_{3} = 10000 \cdot \frac{1 - 2^{3}}{1 - 2} = 70000 рублей$

Прогрессии в ОГЭ, ВПР и ЕГЭ

Задачи на прогрессии можно встретить в разных экзаменах:

ОГЭ по математике: В 13 задании встречаются задачи на арифметическую прогрессию, где нужно найти член прогрессии или сумму нескольких членов.
ЕГЭ по математике: Варианты ЕГЭ часто содержат более сложные задачи на геометрические прогрессии, особенно в части C.
ВПР: Прогрессии могут быть частью заданий для проверки общей математической подготовки в 11 классе.

Справочные материалы по теме теплота:

Арифметическая прогрессия в ОГЭ

Самые точные условия с решениями и разборами

Задачи на прогрессии

Все возможные виды задач с различными уровнями сложности

Задачи на геометрические прогрессии

Полное собрание задач из ОГЭ по математике

Для улучшения работы сайта и персонализации услуг мы используем файлы «cookie». Продолжая использование сайта, вы соглашаетесь с обработкой персональных данных, правилами использования платформы и использованием технологий отслеживания.

Зарегистрируйтесь, чтобы сохранить ответ

И получите доступ ко всем возможностям платформы ФизМат Академии

✓

Сохранение ответов

Следите за своим прогрессом в подготовке к экзаменам. Наша система автоматически будет предлагать вам задачи по вашему уровню подготовки

✓

Добавление формул в избранное

Сохраняйте задания, формулы и теоремы для быстрого повторения - мы подскажем, что нужно повторять и предложим похожие задания

📚

Полный доступ к базе задач

Более 5000 видов заданий по физике и математике с автоматической проверкой и подробными решениями для подготовки по всем темам школьной программы

🎯

Подборка задач по всем формулам и темам

Применяйте знания на практике - мы подскажем как и на чем отработать теоретические знания и формулы

🔍

Задачи с полноценными решениями

Каждая задача уникальна и имеет подробное пошаговое решение - чтобы понять основные принципы математики и физики

📅

Персональный план подготовки

Чем больше вы решаете - тем точнее наши подборки, запомним ваши ошибки и предложим их отработать на похожих задачах

Регистрация займет менее 1 минуты

Арифметическая и геометрическая прогрессии - теория для 9 класса, ОГЭ и ЕГЭ